- •Економетрика конспект лекцій
- •Зауваження................................................................................................118
- •1. Регресійний аналіз. Регресійний аналіз для двох змінних: основні ідеї
- •1.1. Гіпотетичний приклад
- •1.2. Концепція регресійної функції популяції (prf роpulation regression function)
- •1.3. Значення терміна “лінійність”
- •1.4. Стохастичні властивості prf
- •1.5. Важливість урахування складової стохастичного збурення
- •1.6. Вибіркова регресійна функція (srf)
- •2. Двовимірна регресійна модель. Задача оцінки
- •2.1. Метод найменших квадратів
- •Експериментальне визначення srf
- •2.2. Властивості оцінок за мнк
- •Дійсна й оцінена ціна будинку і його житлова площа у кв. Футах
- •Припущення 4 гомоскедастичність або рівність дисперсій
- •Це припущення не таке нешкідливе, як здається. Розглянемо рівняння
- •2.3. Точність або стандартна похибка оцінювачів за мнк
- •2.4. Властивості оцінювачів за мнк: теорія Гаусса-Маркова
- •2.5. Коефіцієнт детермінації : міра «якості підгонки»
- •2.6. Числовий приклад
- •2.7. Ілюстративні приклади
- •3. Інтервальні оцінки і перевірка гіпотез
- •3.1. Інтервальні оцінки: основні ідеї
- •3.2 Довірчі інтервали для регресійних коефіцієнтів і
- •Отже, наприклад, змінна
- •3.3. Довірчий інтервал для
- •3.4. Перевірка гіпотез: загальні зауваження
- •3.5. Перевірка гіпотез: підхід на основі довірчого інтервалу
- •3.6. Перевірка гіпотез: підхід, оснований на перевірці значимості
- •3.7. Перевірка значимості : хі-квадрат тест
- •3.8. Регресійний аналіз і аналіз дисперсії
- •Розглянемо таку змінну:
- •3.9. Застосування регресійного аналізу: проблема прогнозу
- •3.10. Форма звіту за результатами регресійного аналізу
- •3.11. Обчислення результатів регресійного аналізу
- •Залишки для проведення -тесту
- •4. Розвиток двовимірної лінійної моделі регресії
- •4.1. Регресія, що проходить через початок координат
- •4.2. Масштабування й одиниці вимірювання
- •Валові внутрішні приватні інвестиції (gpdi) і валовий національний продукт (gnp) у цінах 1972 р. У доларах сша, 1974–1983 рр.
- •4.3. Функціональний вид регресійної моделі
- •4.4. Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель
- •4.5. Напівлогарифмічні моделі. Визначення темпів зростання.
- •4.6. Обернені моделі
- •4.7. Зауваження щодо стохастичної складової
- •5. Множинний регресійний аналіз. Задача оцінювання
- •5.1. Модель із трьома змінними. Позначення і гіпотези
- •5.2. Інтерпретація рівняння множинної регресії
- •5.3. Значення частинних коефіцієнтів регресії
- •5.4. Оцінка частинних коефіцієнтів регресії за мнк
- •5.6. Проста регресія в контексті множинної регресії
- •5.7. R2 і скорегований r2
- •5.8. Частинні коефіцієнти кореляції
- •5.9. Виробнича функція Коба – Дугласа
- •5.10. Поліноміальная модель регресії
- •6. Припущення нормальності розподілу залишків
- •Витрати на споживання і особистий дохід у сша за 1956–1970 рр.
- •7. Перевірка гіпотез множинної регресії. Загальні зауваження
- •7.1. Перевірка гіпотези про частинний коефіцієнт регресії
- •7.2. Перевірка вибіркової регресії на загальну значущість
- •7.3. Перевірка на рівність двох коефіцієнтів регресії
- •7.4. Перевірка лінійних обмежень
- •Обчислимо
- •7.5. Перевірка структурної стабільності моделей регресії
- •Можна показати, що при виконанні згаданих припущень
- •7.6. Перевірка функціонального виду регресії. Вибір між лінійною моделлю регресії і лінійно-логарифмічною моделлю
- •8. Прогнозування в разі множинної регресії
- •9. Множинна регресія. Матричний метод
- •9.1. Лінійна модель регресії з k змінними
- •9.2. Припущення класичної лінійної моделі регресії в матричній формі
- •Припущення класичної лінійної моделі регресії
- •9.3. Оцінювання за мнк
- •9.4. Коефіцієнт детермінації r2 у матричному позначенні
- •9.5. Кореляційна матриця
- •9.6. Перевірка гіпотез про індивідуальні коефіцієнти регресії в матричному позначенні
- •9.7. Загальна перевірка регресії на значущість. Аналіз дисперсії в матричному позначенні
- •Матричне формулювання anova-таблиці
- •9.8. Перевірка лінійних обмежень. Загальний f-тест у матричних позначеннях
- •9.9. Прогнозування в множинній регресії. Матричне формулювання
- •9.10. Ілюстративний приклад у матричних позначеннях
- •Витрати на споживання на душу населення (ppce) і дохід на душу населення (ppdi) в сша за 1956–1970 рр.
- •Anova-таблиця для даних з таблиці 9.4.
3.10. Форма звіту за результатами регресійного аналізу
Існують різні форми звіту за результатами регресійного аналізу, але тут ми застосуємо ту, що належить до нашого ілюстрованого прикладу:
, = (6,4138) (0,0357) = 0,9621 t = (3,8128) (14,2405) df = 8 5/11/1) p = (0,002571) (0,000000289) . |
(3.10.1) |
У виразах (3.10.1) числа в дужках у другому рядку являють собою стандартні помилки коефіцієнтів регресії, числа в дужках у третьому рядку оцінки величин t:
, |
|
у припущенні нульової гіпотези про те, що 1=0 і 2=0 (3,8128 = 24,4545/6,4138; 14,2405 = 0,5091/0,0357), а числа у третьому рядку обчислена ймовірність. Так, для 8 df імовірність отримання величини дорівнює 0,0026, а ймовірність отримання близько 0,0000003.
Шляхом подання імовірності р оцінюваних коефіцієнтів ми можемо відразу бачити точний рівень значимості кожної оцінюваної величини t. Так, при нульовій гіпотезі Н0: 1 = 0, точна імовірність (тобто величина р) отримання величини приблизно дорівнює 0,0026. Отже, якщо ми відкидаємо цю нульову гіпотезу, імовірність того, що ми допускаємо помилку 1 становить 26 випадків із 10 000, що насправді дуже мало. У практичних задачах можна сказати, що істинне значення . Ще більше це стосується схильності до покупки 2.
Як ми раніше згадували . При нульовій гіпотезі величина F=202,87 (1 df чисельник, 8 df знаменник), а t=14,24 (8 df); відповідно до теорії (14,24)2=202,87.
3.11. Обчислення результатів регресійного аналізу
У вступі нами була описана загальна схема економетричного моделювання:
Економічна теорія.
Математична модель теорії.
Економетрична модель теорії.
Дані.
Проведення оцінки параметрів економетричної моделі.
Перевірка гіпотез.
Прогнозування.
Використання моделі для прийняття рішень або з політичною метою.
Зараз, після подання результатів регресійного аналізу нашої моделі “споживання дохід” у вигляді (3.11.1), природно задати питання про адекватність цієї моделі. Наскільки «добре» вона підігнана до наявних даних? Для відповіді на це запитання нам потрібні деякі критерії.
По-перше, чи відповідають знаки оцінених коефіцієнтів теоретичним прогнозам або наявному досвіду? Апріорі , схильність до покупки, повинна бути позитивною. По-друге, якщо згідно з теорією взаємозв’язок повинен бути не тільки позитивним, але й статистично значимим, чи виконується це? Як ми зазначили в розд. 3, МРС – схильність до покупки є не тільки позитивною величиною, а й статистично значимо відрізняється від нуля. Ці ж зауваження стосуються й коефіцієнта . По-третє, наскільки добре регресійна модель пояснює зміну споживацьких витрат? Для відповіді на це запитання можна застосувати . У нашому випадку дуже високий, враховуючи, що максимальне значення є 1.
Таким чином, вибрана нами модель для пояснення характеру споживацьких витрат є цілком прийнятною. Але перш ніж підвести межу, цікаво з'ясувати, чи задовольнить модель припущення CNLRM (classical normal linear regression model) класичної лінійної моделі з нормальним законом розподілу. Ми не звертатимемо увагу на різні припущення, оскільки модель є дуже простою. Але є одна гіпотеза, яку ми хотіли б перевірити, а саме – гіпотеза про нормальний розподіл випадкової складової .
Пригадаємо, що використані раніше t- і F-тести припускали, що розподілена за нормальним законом розподілу. Інакше процедура перевірки не буде дійсна для малих або кінцевих вибірок.
Тест на нормальність
Хоча в літературі обговорюється ряд тестів перевірки на нормальність, обмежимося розглядом двох: 1) тест якості підгонки і 2) тест Jarque-Bera. Обидва ці тести використовують залишки і розподіл імовірності .
тест якості підгонки. Цей тест проводять таким чином. Спочатку ми отримуємо рівняння регресії, а також залишки , підраховуємо стандартне відхилення (( , оскільки ). Потім упорядковуємо залишки і розміщуємо їх у різних групах (у нашому прикладі ми розміщуємо їх у шести групах), відповідних величині відхилення від нуля. Для нашого прикладу ми одержуємо такі дані (табл. 3.5).
Таблиця 3.5