5.6. Проста регресія в контексті множинної регресії

Припущення (5.1.6) класичної лінійної регресії стверджує, що модель регресії коректно специфікована, тобто помилка зсуву внаслідок неправильної специфікації відсутня. Наведені в попередніх розділах відомості дозволяють пояснити це твердження.

Припустимо, що (5.5.7) є “істинна” модель, що пояснює рівень дійсної інфляції за допомогою рівня безробіття й рівня очікуваної інфляції. Водночас припустимо, що хтось застосовує таку модель регресії:

,

(5.6.1)

де Y_t – дійсний на момент часу t рівень інфляції; Х_2t – рівень безробіття на той же момент часу; – залишковий складова. Кутовий коефіцієнт b₁₂ визначає зміну середнього рівня інфляції, викликану одиничною зміною рівня безробіття.

Оскільки «істинною моделлю» є (5.6.1), та рівність (5.6.1) має помилку специфікації, яка полягає у відсутності в моделі змінної Х₃ очікуваного рівня інфляції.

Ми знаємо, що у множинній регресії (5.5.7) є незміщеною оцінкою , тобто . Чи може коефіцієнт b₁₂ простої регресії Y по Х₂ також бути незміщеною оцінкою ? Тобто чи виконуватиметься ? У термінах нашого прикладу це питання можна сформулювати таким чином. Чи буде коефіцієнт рівня безробіття в (5.6.1) давати незміщену оцінку істинного впливу на рівень інфляції, якщо ми знаємо, що в рівняння не включена змінна Х₃ (очікуваний рівень інфляції)? У загальному випадку відповідь звучить так: b₁₂ не буде незміщеною оцінкою . Крім того, var(b₁₂) може бути зміщеною оцінкою . Можна показати, що насправді виконується рівність

,

(5.6.2)

де b₃₂ – кутовий коефіцієнт у регресії Х₃ за Х₂, тобто

.

(5.6.3)

Із (5.6.2) можна отримати рівність

.

(5.6.4)

За даними вибірки b₂₃ обчислюється за формулою

.

Як бачимо з рівняння (5.6.3), у випадку коефіцієнт b₁₂ є зміщеною оцінкою . Якщо , то зсув буде у бік завищення, а у випадку  – у бік заниження.

Із цього випливає, що згідно з (5.6.2), коефіцієнт простої регресії b₁₂ враховує не тільки «прямий», або «нетто», вплив Х₂ на Y (при фіксованому значенні впливу Х₃), але й непрямий вплив на Y через невключену змінну Х₃. Коротше кажучи, b₁₃ визначає «загальний ефект» (прямий + непрямий) Х₂ на Y, тоді як позначає тільки прямий ефект впливу Х₂ на Y, оскільки вплив Х₃ зберігається фіксованим.

Зі сказаного вище робимо висновок: загальний ефект Х₂ на Y (=b₁₂) складається з прямого (=₂) та непрямого (=₃b₃₂) ефекту Х₂ на Y.

У визначеннях нашого прикладу це звучить таким чином. Загальний вплив одиничної зміни рівня безробіття на дійсний рівень інфляції складається з прямого впливу (при фіксованому рівні очікуваної інфляції) і непрямого ефекту через дію безробіття на очікуваний рівень інфляції. Цей результат може бути пояснений за допомогою діаграми (рис.5.2).

Рис. 5.2. Прямий і непрямий ефекти Х₂ на Y

Проілюструємо теоретичне міркування на прикладі кривої Філіпса.

Використовуючи дані табл.5.1, одержуємо для моделі (5.6.1) такі результати:

(4,2853) (0,6304) t = (1,4298) (0,3885) R^2=0,135.

(5.6.5)

Несподіваним в (5.6.5) є те, що b₁₂=0.2448 не тільки має позитивний знак (позитивний кутовий коефіцієнт кривої Філіпса), але також мало відрізняється від нуля. Водночас у (5.6.2) ми бачимо, що не тільки має очікуваний негативний знак, але й статистично значно відрізняється від нуля, що пояснюється непрямим ефектом доданку ₃b₃₂ з (5.6.4). Із (5.5.8) ми знаємо, що . Для знаходження b₃₂ виконаємо регресію (5.6.2) за наявними даними:

(2,7267) (0,4011) t = (–0,2659) (2,7769), r=0,4120.

(5.6.6)

Значення b₃₂=1,1138 позначає, що збільшення Х₂ на одиницю приводить до зростання (в середньому) Х₃ приблизно на 1,11 одиниць. Але якщо на цю величину зросте Х₃, то її дія на Y буде . Отже, з (5.6.2) ми маємо остаточно

.

Із наведених міркувань можна зробити такий висновок. Якщо з якоїсь причини ухвалити рішення про застосування моделі тривимірної регресії, не слід звертатися до найпростішої двовимірної регресії. У більш загальному випадку це звучить так. Якщо ви віддали перевагу конкретній моделі регресії і вважаєте її «істинною», то не слід модифікувати її шляхом виключення з моделі якої-небудь змінної. Якщо ви знехтуєте цією рекомендацією, то отримаєте зміщені оцінки параметрів. Крім того, ви можете отримати хибне значення і некоректні довірчі інтервали для параметрів регресії. Звернемо увагу, що стандартна похибка коефіцієнта в моделі (5.5.8) набагато менша (у порівнянні з величиною ), ніж у моделі (5.6.5). Тому довірчі інтервали й перевірка гіпотез на підставі (5.5.8) мають більший ступінь довіри, ніж за моделлю (5.6.5).