9.10. Ілюстративний приклад у матричних позначеннях

Підводячи підсумки використання матричного апарату, розглянемо числовий приклад для моделі з трьома змінними. Пригадаємо приклад для регресії сукупних особистих витрат на споживання за сукупним особистим доходом і часом на період 1956–1970 рр. Наголошувалося, що змінна тренда t може зображувати серед іншого сукупне населення: сукупні витрати на споживання повинні збільшуватися зі зростанням населення. Одним зі шляхів для ізолювання впливу зростання населення є перехід до сукупних витрат і сукупного доходу на душу населення. Регресія сукупних витрат на душу населення залежно від сукупного доходу на душу населення дасть співвідношення між витратами і доходом незалежно від зміни населення. Змінна тренда може залишатися в моделі для обліку впливу на витрати інших чинників (наприклад, технології). Отже, модель регресії може бути зображена у вигляді

,

(9.10.1)

де Y – витрати на душу населення; X₂ – дохід на душу населення; X₃ – час. У табл. 9.4 подані необхідні для цієї моделі дані.

Таблиця 9.4

Витрати на споживання на душу населення (ppce) і дохід на душу населення (ppdi) в сша за 1956–1970 рр.

PPCE, Y	PPDI, X2	Час, X3
1673	1839	1 (1956)
1688	1844	2
1666	1831	3
1735	1881	4
1749	1883	5
1756	1910	6
1815	1969	7
1867	2016	8
1948	2126	9
2048	2239	10
2128	2336	11
2165	2404	12
2257	2487	13
2316	2535	14
2324	2595	15 (1970)

У матричних позначеннях наша задача може бути зображена в такому вигляді:

(9.10.2)

За наведеними даними можна отримати значення величин:

, , , ; , ;
;
, .	(9.10.3)

Сума квадратів залишків може бути підрахована за формулою

.

(9.10.4

Звідси можна отримати

.

(9.10.5)

Матрицю варіацій можна обчислити за такою формулою

.

(9.10.6)

Діагональні елементи цієї матриці дають значення дисперсій коефіцієнтів , і , а корінь квадратний із них дає значення стандартної похибки.

За наведеними даними можна легко перевірити, що

ESS=828144,47786;	(9.10.7)
TSS=830121,333.	(9.10.8)

Отже,

R^2=0,99761.

(9.10.9)

Застосовуючи формулу (7.8.4) можна визначити наведений коефіцієнт детермінації

.

(9.10.10)

Підсумовуючи отримані результати, одержуємо

, (78,31763) (0,04753) (2,98354) t = (3,83421) (15,61077) (2,69598) R^2=0,99761, , DF=12.

(9.10.11)

Інтерпретація результатів (9.10.14). Якщо обидві величини Х₂ і Х₃ набувають фіксованих нульових значень, то середня величина витрат на душу населення складає приблизно 300 дол. повинна братися з великою обережністю. Частинний коефіцієнт регресії означає, що не змінюючи інші змінні, зростання доходів приводить до збільшення витрат на споживання на душу населення на 0,74 дол. Коротше кажучи, оцінка граничної схильності до споживання складає приблизно 74%. Аналогічно, не змінюючи інших змінних, середні витрати на споживання зростають за рік приблизно на 8 дол. за досліджуваний період. Величина R²=0,99761 показує, що взяті дві пояснювальні змінні дозволяють врахувати більше 99% дисперсії витрат на споживання на душу населення в США за даний період. Хоча трохи менше, ніж R², проте цей коефіцієнт залишається дуже високим.

Переходячи до аналізу статистичної значущості коефіцієнтів регресії, ми відзначаємо з (9.10.14), що кожний окремий коефіцієнт регресії статистично значимий, скажімо, при 5%-му рівні значущості (з таблиць ми бачимо, що критичне значення t для DF=12 є 2.179). Кожна з підрахованих t-величин більша, ніж це значення. Отже, ми можемо відхиляти нульові гіпотези про нульові значення величин істинних коефіцієнтів регресії.

Як уже було відзначено раніше, ми не можемо застосувати результати t-тесту для перевірки гіпотези про те, що , оскільки процедура t-тесту припускає, що при проведенні тесту кожного разу проводиться незалежна вибірка. Якщо ж одна й та сама вибірка використовується для перевірки гіпотез одночасно для і , то ймовірно, що оцінки і від’ємно корельовані (коваріація між ними складає –0,13705). Тому ми не можемо застосовувати t-тест для перевірки гіпотези про те, що .

Для перевірки цієї гіпотези може бути застосований і F-тест, розглянутий нами в розд. 8. Для використовування F-тесту нам необхідні дані ANOVA-таблиці.

Таблиця 9.5