5. Оптимизационные задачи

Оптимизация нелинейного функционала выполняется инструментальными средствами с помощью команды Сервис/Поиск решения.

1. Решение систем нелинейных уравнений

Пусть требуется получить решение системы нелинейных уравнений (СНУ) узловых напряжений в форме балансов токов для сети постоянного тока с заданными мощностями в узлах:

.

Рис. 3.59 Электрическая схема

О дним из путей решения подобных задач является использование методов нелинейного программирования, где отыскивается оптимум (минимум или максимум) некоторой целевой функции, заданной на области допустимых значений, представленной ограничениями типа «равенство» и «неравенство». Применительно к поставленной задаче в качестве критерия оптимизации, как правило, выбирается сумма квадратов невязок токов или мощностей в узлах:

,

где

.

В табл. 3.12 предложен проект решения задачи для представленной на рис. 3.11 электрической сети оптимизационным методом Ньютона (задается в параметрах оптимизации).

Таблица 3.22

	A	B	C	D	E	F	G
1	Ub	120
2	Y		U	Yb	P	YU	DI=YU-(P/U-UbYb)
3	-0,1	0,05	120	0,05	20	-6	-1,67E-01
4	0,05	-0,05	120	0	20	0	-1,67E-01
5						Сумма кв.	5,56E-02

В столбце U первоначально задаются исходные напряжения (U_i=U_b), а после процедуры «Сервис/Поиск решения» - формируются результирующие значения.

Блок F3:F4 вычисляется через матричное умножение матрицы Y на вектор U. Блок G3:G4 вычисляется по матричной формуле =F3:F4-(E3:E4/C3:C4-D3:D4*$B$1) (ни в коем случае не пытайтесь «перерисовать» формулу, конструируйте ее согласно матричному уравнению в заголовке столбца).

Сумма квадратов вычисляется с помощью функции СУММКВ().

Для работы с процедурой «Поиск решения» рекомендуется установить курсор в ячейке (G5), где вычисляется сумма квадратов невязок токов. После инструментального вызова процедуры появляется диалоговая панель, где следует указать основные параметры оптимизации, в том числе блок варьируемых переменных (С3:С4), и ограничения на напряжения узлов (не выше 140). В результате оптимизации будут получены напряжения U₁=112,7865; U₂=109,12.

Самостоятельная работа

• Выполните расчеты по приведенному образцу.

• Выполните расчеты напряжений тестовой схемы рис. 3.7, предварительно заменив токи мощностями, умножив их на 10.

• Выполните оптимизацию методами Ньютона и сопряженного градиента (выбираются в параметрах оптимизации). Сравните их по числу итераций.

• Постройте графики поитерационного (5 итераций) изменения напряжений двух произвольных узлов электрической сети.

• Получите распределение токов в электрической сети. Для этого:

• используя матрицу инциденций (п. 3.4.2), размерностью (число ветвей, число узлов) получите вектор разности напряжений по ветвям;

• умножьте полученный вектор на вектор проводимостей ветвей.

• Получите распределение мощности по ветвям электрической схемы (токи умножаются на напряжения).