5. Использование f-статистики

В предыдущем примере коэффициент детерминированности r² равен 0,78 (ячейка F8 в результатах функции ЛИНЕЙН()), что указывает на некоторую, не очень сильную зависимость между независимыми переменными и функционалом. Можно использовать F-статистику, чтобы определить, является ли этот результат (с таким значением r²) случайным.

Предположим, что на самом деле нет взаимосвязи между переменными, а просто были выбраны те случайные данные, для которых статистический анализ вывел показанную взаимозависимость. Допустимую вероятность (уровень значимости) ошибки гипотезы о том, что имеется значимая взаимозависимость, принято обозначать величиной α.

Для оценки гипотезы используется так называемый F-критерий, который служит для проверки гипотезы о равенстве дисперсий (), при условии, чтоX и Y распределены нормально. В общем случае из каждой генеральной совокупности производятся выборки объемом n₁ и n₂ . В качестве контрольной величины используется отношение эмпирических дисперсий . ВеличинаF удовлетворяет F-распределению (распределение Фишера) c v₁ и v₂ степенями свободы (v₁=n₁-1, v₂=n₂-1). В рассматриваемом случае в качестве сопоставляемых величин являются функционал и вектор параметров.

Если F-наблюдаемое (ячейка F9) больше, чем F-критическое, то взаимосвязь между переменными и функционалом (трендом) является значимой. Величину F-критическое можно получить из таблицы F-критических значений в любом справочнике по математической статистике. Для того чтобы найти это значение, необходимо иметь уровень значимости α = 0,05 и значения степеней свободы v₁ и v₂, где v₁ = k - это число переменных, v₂ = n-(k+1), а n - число статистических данных. В нашем случае v₁=3, v₂ = 10 - (3 + 1)=6 (в ячейке G9).

Из таблицы справочника F-критическое равно 4,76. Наблюдаемое F-значение равно 7,17, что больше 4,76. Следовательно, гипотеза о взаимосвязи линейной корреляции функционала и переменных не отвергается, и полученное регрессионное уравнение может быть использовано для прогнозирования нагрузки.

Было бы неразумно окружать свое рабочее место толстыми математическими справочниками. Не поможет ли нам Excel получить F-критическое? Нет проблем. Для этого имеется встроенная функция FРАСПОБР().

Функция FРАСПОБР(α; v₁; v₂)

возвращает обратное значение для F-распределения вероятностей (функция FРАСП(x;...)) . Если α = FРАСП(x;...), то х=FРАСПОБР(α;...). Параметры v₁, v₂ - это числа степеней свободы.

Замечания

• ·Если число степеней свободы не целое число, то оно усекается до целой.

• ·Функция возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!, если вероятность α < 0 или α > 1, или v₁, v₂ < 1, или v₁, v₂ >10¹⁰.

Пример. FРАСПОБР(0,05;3;6) равняется 4,757.

6. Вычисление t-статистики

Другой гипотетический эксперимент определит, полезен ли каждый коэффициент наклона для оценки тренда мощности (см. табл. 3.22). Например, для проверки того, имеет ли статистическую значимость циклическая составляющая, разделим 554,81 (коэффициент пропорциональности при cos(/5*t) ) на 297,18 (оценка стандартной ошибки для коэффициента времени эксплуатации): t = m₃/se₃= 554,81/ 297,18 = 1,846. Эта величина сопоставляется с t-критерием (распределение Стьюдента), который служит для сравнения двух средних значений из нормально распределенных генеральных совокупностей случайных величин в предположении, что равны их дисперсии.

Если посмотреть в таблицу справочника по математической статистике, то окажется, что t-критическое с шестью степенями свободы и = 0,1 равно 1,94. Поскольку абсолютная величина t, равная 1,846, меньше, чем 1,94, то можно сделать вывод о том, что циклическая составляющая - это незначимая переменная для оценки тренда мощности. Аналогичным образом можно протестировать на статистическую значимость все другие переменные.

Как и для F-распределения, Excel имеет возможность вычислить t-критическое с помощью встроенной функции СТЬЮДРАСПОБР().

Функция СТЬЮДРАСПОБР(вероятность; df) возвращает обратное распределение Стьюдента для заданных вероятности, соответствующей двустороннему распределению Стьюдента, и числа степеней свободы df.

Замечания

• Если df не целое, то оно усекается до целой.

• Если вероятность меньше нуля или больше единицы, или число степеней свободы меньше единицы, то функция СТЬЮДРАСПОБР() возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

• Рассматриваемая функция использует итерационный метод для вычисления возвращаемого значения. Если итерационный процесс не сходится за 100 итераций, то функция возвращает значение ошибки #Н/Д.

Пример. СТЬЮДРАСПОБР(0,1;6) равняется 1,94.