Самостоятельная работа

• Повторите на ЭВМ представленные расчеты.

• Уберите последний член полинома и оцените погрешность интерполяции.

• На базе только экспериментальных данных на графике ряда через тренд определите коэффициенты полинома третьего порядка, наилучшим образом (по методу наименьших квадратов) описывающего экспериментальный ряд. Оцените погрешность интерполяции.

• На основе полученных данных получите значение анализируемой величины при t=1,1 (прогноз через экстраполяцию функции).

2. Метод скользящего среднего

В оперативных прогнозах электрических нагрузок и электропотребления необходимо учитывать циклическую составляющую, определяемую устойчивыми циклами природных (день, ночь, зима, лето) и социальных (рабочие, выходные и праздничные дни) явлений. В суточном разрезе нагрузка регулярно снижается в ночные часы и повышается в утренние и вечерние. В недельном разрезе регулярные снижения нагрузки имеют место в нерабочие дни. В годовом разрезе наблюдается снижение нагрузки в летний период (время летних отпусков и длинного светового дня).

Функционально циклическая составляющая может быть представлена некоторой периодической (сутки, неделя, год) функцией с нулевым средним значением. При этом прогноз может быть представлен в виде суммы нециклической R(t) (тренд), циклической S(t) и случайной (t) составляющих . Случайная составляющая имеет также нулевое математическое ожидание. Отсюда задача анализа статистических данных сводится к определению каждой из указанных составляющих.

Нулевая величина математического ожидания S(t) и (t) подсказывает алгоритм решения задачи, который в литературе называется методом скользящего среднего. Определяется среднее статистическое значение анализируемой величины на интервале (t- T_ц/2, t+T_ц/2), где - T_ц длительность цикла (12 месяцев, или 365 дней, или 8760 часов). Полученная величина присваивается нециклической составляющей R(t), которая называется трендом и моделируется, например, полиномом R^*(t). Следующим этапом является анализ статистического ряда Z_i={Y_i -R^*(t_i)} и его моделирование циклической функцией S(t). Здесь математическая модель может быть совершенно иной, например ряд Фурье. Из остатка Z_i- S(t_i) подобным образом можно выделить циклическую составляющую с меньшим периодом (неделя).

Благодаря специфике относительных адресов метод скользящего среднего достаточно просто реализуется вExcel.

Линейный тренд

Рис. 3.65. Случайный процесс

С целью иллюстрации метода построим ряд случайных чисел, имеющих линейный тренд и циклическую составляющую. Для ускорения процесса построения экспериментальной кривой начиная со второй строки в столбцах А (время) и В (функция) строим арифметические прогрессии, соответственно (1,2,…,26) и (5, 5.5, 6, …,17.5). Отобразим данные столбца В точечной диаграммой. На диаграмме выполняем циклические (цикл равен пяти временным интервалам) коррекции {оставить, приподнять, оставить, опустить, оставить} (рис. 3.17). Числовой ряд в столбце В также автоматически корректируется.

Рис. 3.66. Циклическая составляющая

С ледующим этапом является выделение и аппроксимация тренда. Для этого в ячейке С4, соответствующей середине интервала цикла (t=3), записываем формулу усреднения данных на периоде: =СРЗНАЧ(B2:B6), которую распространяем до ячейки С25 (t=24). Предположим, что тренд моделируется линейной функцией y(t)=a₀+a₁t. Выделим ячейки для a₀,a₁, например Е1, Е2, где запишем начальные значения, например 1 . В ячейках D4:D25 формируем ряд y(t_i). В ячейке D27 формируем через формулу =СУММКВРАЗН(C4:C25;D4:D25) минимизируемую разность квадратов. В результате минимизации (Сервис/Поиск решения) получаем оценки коэффициентов a₀, a₁ и ряд значений теоретической функции.

Циклическая составляющая (рис. 3.18) образуется вычитанием из исходного ряда теоретических значений тренда: Е4:Е25:=В4:В25-D4:D25. Индикатором правильности наших построений может служить сумма ряда Е4:Е25, близкая к нулю. В табл. 3.15 в транспонированном виде (для экономии места в тексте) частично представлен рассмотренный этап расчетов.

Таблица 3.25