1. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов

61. _{Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла:}

62. 

63. _{Вычисляется как сумма произведений соответствующих координат этих векторов (a,b) = x1 x2 + y1y2 + z1z2.}

64. _{Определение. Векторное произведение двух векторов – это вектор, перпендикулярный векторам a и b, образующий с ними правую тройку и имеющий длину}

65. 

66. _{Вычисляется как определитель .}

67. _{Геометрически длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.}

68. _{Определение. Смешанное произведение трех векторов это число, равное скалярному произведению третьего вектора на векторное произведение первых двух (a, b, c) = (a×b, c).}

69. _{Вычисляется как определитель}

71. _{Геометрически модуль смешанного произведения векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.}

72. _{Если смешанное произведение равно нулю, то вектора лежат в одной плоскости, т. е. компланарны.}

73. 1.25. В таблице 1.14 заданы векторы , Вычислить:

74. 1) ; 2); 3); 4);

75. 5) угол между векторами и.

77. Таблица 1.14

    №	1	2	3	4
    	(4, –2, –4)	(1, 4, –2)	(1, 1, 1)	(0, 1, 1)
    	(5, –1, 3)	(3, 1, 1)	(1, –1, 0, )	( –1, 1, 0)

79. 1.26. Найти и построить вектор =, если:

80. 1) = 2,= 3; 2)=,=;

81. 3) ==.

82. Определить в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

83. 1.27. Найти ×, синус угла между векторамии, если:

84. 1) = (1, –5, – 3),= (–2, 4, 3);

85. 2) = (3, –2, 6),= (6, 3, –2);

86. 3)= (3, 0, –4),= (1, –2, 2).

87. 1.28. Найти площадь треугольника с вершинами:

88. 1) А (2; 2; 2), В (1; 3; 3), С (3; 4; 2);

89. 2) А (–3; –2; –4), В (–1; –4; –7), С (1; –2; 2).

90. 1.29. Найти смешанное произведение ,и, если:

91. 1) = (1, 1, 2),= (1, –2, 3),= (2, 1, 1);

92. 2) = (5, –2, –1),= (1, –2, 1),= (1, 2, –2).

93. 1.30. Установить, компланарны ли векторы:

94. 1) = (1, 1, 3),= (0, 2, –1),= (1, –1, 4);

95. 2) = (1, 2, 2),= (2, 5, 7),= (1, 1, –1).

96. 1.31. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах = (3, 2, 1),= (1, 0,–1),= (1, –2, 1).

97. 1.32. Треугольная пирамида задана координатами своих вершин 1) А (–1; 1; 0), В (2;–2; 1), С (3; 1; –1), Д (1; 0; –2).

98. 2) А (–4; –4; –3), В (–2;–1; 1), С (2; –2; –1), D (1; 3; –2).

99. Найти: угол <ДАВ; S – площадь грани АВС, V – объём пирамиды, высоту пирамиды.

100. Решение.

1. Найдём векторы и:

116. = (1 + 1; 0 – 1; – 2– 0) = (2; –1; –2), = (2 + 1; –2–1; 1 –0) = (3; –3; 1),

117. ,

118. 

119. .

2. Найдем вектор = (4; 0; –1), тогда векторное произведение

120. 

121. Его длина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Вычислим: .

122. Тогда площадь ∆АВС равна половине площади параллелограмма:

123. 

3. Найдём смешанное произведение:

124. = 0 + 4+ 6 – (0+24+3)= –17.

125. , ,

126. Значит,

4. Т.к. , то можно найти высоту пирамиды