Определение. Областью определения функции
называется
множество точек
плоскостиОху,
в которых функция определена.Линия уровня функции
задается уравнением z
= C
или
.Пример 2.7.
Найти область определения функции:
1.
2.
Решение.
1. Область определения задается условием: 9 – x2 – y2 > 0 или x2 + y2 < 9, т. е. представляет собой незамкнутый круг с центром в начале координат радиуса 3.
2. Имеем: x – y ≥ 0 или y ≤ x, т. е. область определения – это полуплоскость, лежащая ниже прямой y = x, и сама прямая.
2.66. Построить область определения функции:
2.67. Найти линии уровня функций:
2.7.1. Частные производные, дифференциал,
Градиент функции
Определение. Частные производные функции z = z(x, y):
если пределы существуют.
Определение. Дифференциалом функции z = z(x, y) называется выражение
Определение. Градиентом функции z = z(x, y) называется вектор
Пример 2.8.
Найти частные производные
и
(или
и
)
функции
Решение.
2.68. Найти
и
:1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
2.69. Найти дифференциал функции z в точке М(–2; 1):
1)
если
2)
если
2.70. Найти градиент и линию уровня функции в точке Р, сделать рисунок:
1)
2)
3)
4)
2.71. Найти модуль градиента функции:
1)
в
точкеА(1;
–2; 0);2)
в точкеА(0;
1; –2).2.7.2. Частные производные 2-го порядка.
Исследование функции на экстремум
Пример 2.9.
Найти частные производные второго порядка функции z = x2y3+2y.
Решение.
=
=
=2y3
=
2y3,
=
=
=2х
=
6xy2,
=
=
=3y2
=
6xy2,
=
=
=
3х2
=
6x2y.2.72. Найти частные производные второго порядка
:1)
2)
3)
4)
2.73. Доказать, что если
то
Схема исследования функции z = z(x, y) на экстремум:
1. Найти частные производные
,
и
решить систему уравнений
Решениями системы будут критические точкифункции.
2. Найти частные производные 2-го порядка.
3. Для каждой критической точки вычислить определитель
Если ∆ > 0, то критическая точка является точкой максимума/минимума функции при условии
<
0/
> 0.Если ∆ < 0, то критическая точка не является точкой экстремума.
Если ∆ = 0, то требуется дополнительное исследование (изучается вопрос о знакопостоянстве функции в окрестности критической точки).
4. Вычислить экстремумы функции, подставив координаты точек экстремумов в уравнение z=z(x,y).
Пример 2.10.
Производятся два вида товаров, в количествах х ед. и y ед. Пусть 8 и 10 ден. ед. – цены на эти товары соответственно, а S = x2 + xy + y2 – функция затрат. Определить оптимальный выпуск товаров, при котором предприятие получит максимальную прибыль.
Решение.
Функция прибыли имеет вид:
П(х, y) = 8х + 10y – x2 – xy – y2.
Вычислим частные производные первого порядка:
Пх΄ = 8 – 2х – y, Пy΄ = 10 – х – 2y.
Найдем критические точки функции как решение системы уравнений
получаем точку (2; 4).
Найдем частные производные второго порядка:
= –2,
=
= –1,
= –2.Так как
и
= –2 <
0, то в точке
(2; 4)
функция прибыли имеет максимум: Пmax
= П (2; 4) =
28.Следовательно, для получения максимальной прибыли в 28 денежных единиц необходимо произвести 2 ед. товара первого вида и 4 ед. – второго вида.
2.74. Исследовать функцию на экстремумы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2.75. Производственная функция (в ден. ед.) имеет вид
гдех
и у
– количество ед. соответственно 1-го
и 2-го ресурсов. Стоимость ед. первого
ресурса – 5, а второго – 10 (ден. ед.).
Найти максимальную прибыль при
использовании этих ресурсов.2.76. Как распределить сумму в $10 млн между тремя компаниями так, чтобы их суммарная прибыль была наибольшей, если прибыль каждой определяется соответственно по формуле:
где
–
инвестируемая сумма?2.77. Исследовать функцию на экстремумы и найти наименьшее и наибольшее значения в заданной области:
1)
АВО:
А(–5;
0), В(0; –5),
О(0; 0);2)
АВС:
А(2; 0), В(0; 2), С(0;
–2).2.78. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную сумму длин ребер а, найти параллелепипед, имеющий наибольший объем.
2.7.3. Метод наименьших квадратов
Пусть дана таблица значений функции
xi x1 x2 … xп
yi y1 y2 … yп.
Параметры а и b линейной функции
которая аппроксимирует данную
зависимость, находят как решение
системы
2.79. Имеются следующие данные о величине пробега автомобиля х (тыс. км) и расходе у (л/тыс. км):
xi 50 70 90 110 130
yi 0,2 0,5 0,8 1,1 1,3.
Полагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу
методом наименьших квадратов.2.80. Имеются следующие данные:
xi 3 4 5 6 7
yi 200 160 120 90 80,
где х – цена на товар (ден. ед.);
у – уровень продаж (тыс. ед.).
Полагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу
методом наименьших квадратов.Контрольные задания
1. Найти частные производные 1-го порядка:
1)
2)
3)
2. Найти экстремумы функции:
1)
2)
3)
3. Предполагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу
методом наименьших квадратов по
следующим данным:1) xi 1 2 3 4
yi 1,3 2 2,5 2,8;
2) xi 1 2 3 4
yi 4 3 1 0;
3) xi 1 2 3 4
yi 3 3,4 3,6 4.
2.8. Дифференциальные уравнения
Определение. Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные или её дифференциалы. В случае, когда неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений.
1. Уравнение с разделяющимися переменными
у'=f1(x)f2(y).
Решение.
dy/dx = f1(x)f2(y) | dx/ f2(y), f2(y) ≠ 0,
dy/ f2(y) = f1(x) dx,
общее
решение (общий интеграл) уравнения.Случай f2(y)= 0 рассматривается с помощью подстановки в исходное уравнение.
Пример 2.11. Решить уравнение
Решение.
dy/dx = у2сosx | dx/у2, у ≠ 0,
dy/у2 = cosxdx,
–1/y = sinx + C,
y = –1/(sinx + C) – общее решение.
Рассмотрим случай у = 0.
Подставляя в исходное уравнение у = 0, получаем:
0' = 02cosx, 0 = 0 – верно у = 0 – решение уравнения.
Это решение не может быть получено как частное решение общего решения ни при каком значении С.
Ответ: y = –1/(sinx + C), у = 0.
2.81. Решить уравнения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2. Однородные уравнения 1-го порядка
Уравнения решают с помощью замены
После подстановки z и
в исходное уравнение получается
уравнение с разделяющимися переменными
(см. п. 1).2.82. Решить уравнения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3. Линейные уравнения 1-го порядка
у' +p(x)y =f(x),
где p(x),f(x) – непрерывные функции.
Пример 2.12. Решить уравнение у' + xy = x.
Решение.
Пусть
тогда
и уравнение принимает вид
Группируя первое и третье слагаемые, получаем
Равенство будет верным, если
Найдем частное решение первого уравнения системы:
Подставим полученное решение во второе уравнение системы и найдем его общее решение:
C помощью замены
получаем общее решение:
Подставляя найденные решения
и
в равенство
получаем решение исходного уравнения:
Ответ:
Задача Коши для уравнения 1-го порядка имеет вид
Пример 2.13.
Решить задачу Коши
Решение.
Найдем общее решение уравнения
:dy/dx = х2у | dx/у, у ≠ 0,
dy/у = x2 dx,
ln|y| = х3 /3 + С.
Подставим в это решение х = 2 и у = 1 (см. условие у(2) = 1):
ln|1| = 23 /3 + С,
0 = 8/3 + С С = – 8/3.
Подставляя это значение в общее решение, получаем
Ответ: ln|y| = (х3 – 8)/3.
2.83. Решить уравнение или задачу Коши:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
4. Линейные однородные уравнения 2-го порядка
С постоянными коэффициентами
,
где p, q
R.Решение.
Составим характеристическое уравнение
и решим его.Возможны три случая:
k1,2
R,
k1
≠ k2
(дискриминант D
> 0);k1,2
R,
k1
= k2
= k
(D = 0);k1,2 =
C
(D < 0).
Каждому из этих случаев соответствует общее решение уравнения:
Пример 2.14.
Решить уравнения:
Решение.
Ответ:
Ответ:
Ответ:
