- •Математика
- •Глава 1 подготовлена м. Н. Рассказовой, глава 2 – о. П. Диденко, предисловие, введение, глава 3, алфавитно-предметный указатель – с. Х. Мухаметдиновой.
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Линейная алгебра
- •Операции над матрицами
- •Свойства операций над матрицами:
- •Определители матриц и их свойства
- •Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •Системы линейных уравнений
- •Построение моделей задач, сводящихся к системам линейных уравнений
- •1.1.6. Применение элементов линейной алгебры в экономике
- •1.1.7. Модель Леонтьева межотраслевого баланса
- •Контрольные задания
- •Векторная алгебра
- •Векторы. Линейные операции над векторами
- •Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов
- •Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения
- •Контрольные задания
- •Аналитическая геометрия
- •Прямая на плоскости
- •Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные задания
- •Глава 2. Математический анализ
- •2.1. Функции одной переменной
- •Контрольные задания
- •2.2. Предел и непрерывность функции
- •Некоторые свойства пределов
- •2.2.1. Замечательные пределы
- •2.2.2. Непрерывность функции в точке
- •Контрольные задания
- •2.3.2. Применение производной в экономике
- •2.3.3. Дифференциал функции
- •Контрольные задания
- •2.4. Приложения производной
- •2.4.1. Исследование функции на монотонность,
- •Экстремумы и выпуклость.
- •Асимптоты графика функции
- •2.4.2. Общая схема исследования функции
- •И построения ее графика
- •Контрольные задания
- •2.5.2. Метод интегрирования по частям
- •2.6.2. Геометрические приложения
- •Определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла
- •В экономике
- •Несобственные интегралы
- •Функции нескольких переменных
- •2.7.1. Частные производные, дифференциал,
- •Градиент функции
- •2.7.2. Частные производные 2-го порядка.
- •Исследование функции на экстремум
- •2.7.3. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные задания
- •2.8. Дифференциальные уравнения
- •1. Уравнение с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения 1-го порядка
- •3. Линейные уравнения 1-го порядка
- •4. Линейные однородные уравнения 2-го порядка
- •С постоянными коэффициентами
- •2.9. Последовательности и ряды
- •2.9.1. Предел последовательности
- •2.9.2. Числовые ряды
- •Достаточный признак расходимости ряда
- •Признаки сходимости рядов с положительными членами:
- •2.9.3. Степенные ряды
- •Контрольные задания
- •3.1.3. Размещения
- •Сочетания
- •Если в формуле (3.5) заменить число k на n − k, то получим:
- •Правило сложения
- •Правило произведения
- •Контрольные вопросы
- •Элементы теории вероятностей
- •3.2.1. Основные понятия теории вероятностей
- •3.2.2. Классификация событий
- •3.2.3. Алгебра событий
- •3.2.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •3.2.5. Классический подход к понятию вероятности
- •3.2.6. Решение вероятностных задач
- •С помощью комбинаторики
- •3.2.7. Геометрический подход к понятию вероятности
- •3.2.8. Аксиоматическое определение
- •Понятия вероятности
- •3.2.9. Вероятность суммы несовместных событий
- •3.2.10. Вероятность произведения событий
- •3.2.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.2.12. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число
- •Наступлений события
- •3.2.13. Локальная формула Муавра−Лапласа
- •3.2.14. Интегральная формула Муавра−Лапласа
- •3.2.15. Формула Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •3.3. Случайные величины
- •3.3.1. Дискретные случайные величины.
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •3.3.2. Числовые характеристики
- •Дискретных случайных величин
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •3.3.3. Функция распределения вероятностей
- •Случайной величины
- •Основные свойства функции распределения:
- •3.3.4. Непрерывная случайная величина.
- •3.3.5. Числовые характеристики
- •Непрерывных случайных величин
- •3.3.6. Равномерное распределение
- •3.3.7. Нормальное распределение
- •3.3.8. Показательное распределение
- •Контрольные вопросы
- •3.4. Элементы математической статистики
- •Основные задачи математической статистики
- •3.4.1. Основные понятия математической статистики
- •3.4.2. Точечные оценки параметров распределения
- •3.4.3. Интервальные оценки параметров распределения
- •Интервальные оценки параметров нормального распределения:
- •3.4.4. Проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Генеральной совокупности по критерию Пирсона
- •Алгоритм применения критерия Пирсона
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
- •Приложение 6
- •Глава 2 «Математический анализ»
- •Глава 3 «Теория вероятностей и математическая статистика»
- •3.1. Классическое определение вероятности
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Формулы полной вероятности и Байеса
- •3.4. Схема Бернулли. Теорема Муавра-Лапласа, Пуассона
- •3.5. Случайные величины
- •3.6. Законы распределения
- •3.7. Математическая статистика
- •Алфавитно-предметный указатель
- •Математика
- •644099, Омск, ул. Красногвардейская, 9
Сделаем рисунок (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Исследование функции на выпуклость
Вычислим ординаты точек перегиба графика:
Координаты точек перегиба: (0; 0), (1; −1).
2.32. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:
1) 2)3)
4) 5)6)
2.33. Найти наименьшее и наибольшее значения функции:
1) на промежутке [2; 4];
2) на промежутке [−1; 1];
3) на промежутке [−4; 4];
4) на промежутке [−2; 1].
2.34. Издержки производства С (у. е.) зависят от объема выпускаемой продукции х (ед.): Найти наибольшие издержки производства, еслих изменяется на промежутке [2; 7]. Найти значение х, при котором прибыль будет максимальной, если выручка от реализации единицы продукции равна 15 у. е.
2.35. Требуется выделить прямоугольную площадку земли в 512 м2, огородить ее и разделить забором на три равные части параллельно одной из сторон площадки. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы на ограждение пошло наименьшее количество материала?
2.36. При заданном периметре прямоугольного окна найти такие его размеры, чтобы оно пропускало наибольшее количество света.
2.37. Найти максимум прибыли, если доход R и издержки C определяются формулами: гдех − количество реализованного товара.
2.38. Зависимость объема выпуска продукции W от капитальных затрат К определяется функцией Найти интервал измененияК, на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.
2.39. Функция издержек имеет вид Доход от реализации единицы продукции равен 200. Найти оптимальное для производителя значение выпуска продукции.
2.40. Зависимость объема выпуска продукции (в денежных единицах) от капитальных затратопределяется функциейНайти интервал значений, на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.
2.41. Считается, что увеличение реализацииот затрат на рекламу(млн руб.) определяется соотношениемДоход от реализации единицы продукции равен 20 тыс. руб. Найти уровень рекламных затрат, при котором фирма получит максимальную прибыль.
2.42. Доход от производства продукции с использованием единиц ресурса составляет величинуСтоимость единицы ресурса – 10 ден. ед. Какое количество ресурса следует приобрести, чтобы прибыль была наибольшей?
2.43. Функция издержек имеет вид Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.
2.44. Зависимость дохода монополии от количества выпускаемой продукции определяется какФункция издержек на этом промежутке имеет видНайти оптимальное для монополии значение выпуска продукции.
2.45. Цена на продукцию монополии-производителя устанавливается в соответствии с отношением, идентифицируемым как.При каком значении выпуска продукции доход от ее реализации будет наибольшим?
2.46. Функция издержек имеет следующий вид припри. В настоящий момент уровень выпуска продукцииПри каком условии на параметрp фирме выгодно уменьшить выпуск продукции, если доход от реализации единицы продукции равен 50?
2.47. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции:
1) 2); 3)
4) 5)6).
2.48. Найти асимптоты графика функции:
Указание. Вертикальная асимптота имеет уравнение х = а, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке х = а равен ∞.
Наклонная асимптота имеет уравнение
где
2.4.2. Общая схема исследования функции
И построения ее графика
Найти область определения функции и установить наличие вертикальных асимптот.
2. Исследовать функцию на четность/нечетность, периодичность.
3. Установить наличие наклонных (горизонтальных) асимптот.
4. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.
5. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика.
6. Найти точки пересечения графика с осями координат и дополнительные точки, уточняющие график.
2.49. Исследовать функцию и построить ее график:
1) 2)
3) 4)
5) ; 6)
7) 8)
9) 10)
Контрольные задания
Вариант 1.
Найти
Исследовать функцию и построить ее график:
Вариант 2.
Найти
Исследовать функцию и построить ее график: