4. Системы линейных уравнений

Рассмотрим три основных метода решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Заметим, что метод Крамера и матричный могут применяться только для невырожденных систем, т. е. систем с определителем, неравным нулю. При этом система имеет единственное решение. Метод Гаусса более универсальный и позволяет решать как определенные системы (имеющие единственное решение), так и неопределенные системы, имеющие множество решений. Применяя преобразования метода Гаусса, можно ответить на вопрос: совместна ли система или вообще не имеет решений, найти ранг матрицы.

Пример 1.6. Решение системы методом Крамера.

Решить систему .

Строим матрицу системы, вычисляем её определитель:

∆ = = 45 + 1 + 12 – (–9 + (–6) + 10) = 63.

Построим определитель∆₁ заменой 1-го столбца на столбец правых частей и вычислим:

∆₁ = = 18 + (–5) + 24 – (45 + (–12) + 4) = 0, тогда переменная х находится по формуле х = = = 0.

Найдем ∆₂ заменой 2-го столбца на столбец правых частей:

∆₂== 60 + (–2) + 30 – (– 12 + 12 + 25) = 63,

тогда переменная y находится по формуле y = = 1.

Найдем ∆₃ заменой 3-го столбца на столбец правых частей:

∆₃== – 75 + (–4) + (–8) – (6 +10 + (–40)) = –63,

тогда переменная z находится по формуле z = = –1.

Ответ: (x, y, z) = (0, 1, –1).

Пример 1.7. Решение системы методом Гаусса.

Построим по данной системе расширенную матрицу системы .

Её необходимо с помощью элементарных преобразований привести к треугольному виду . Ниже главной диагонали должны быть нули.

Разрешены следующие элементарные преобразования, не меняющие пространства решений системы:

• можно менять местами строки;

• умножать строку на ненулевое число;

• складывать или вычитать любые две строки, умноженные на любое число;

• вычеркивать нулевые или пропорциональные строки.

Если в столбце есть 1, удобно переставить строки, поставив 1 на первое место. Умножим первую на 2, вычтем из второй:

~ .

Разделим 2-ю строку на 7, переставим с 3-й, первую умножим на 5, вычтем из второй, получаем:

~ .

Разделим 3-ю строку на 9 и вычтем 2-ю, имеем . Эта матрица приведена к треугольному виду. Первый этап закончен.

Построим теперь по ней систему уравнений: .

Приступаем ко второму этапу – обратный ход метода Гаусса. Находим из последнего уравнения z = –1; поднимаясь во второе и подставляя найденное z, находим y = 1; затем из первого находим х = 0. Итак, (x, y, z) = (0, 1, –1).

1.9. Определить ранг матрицы В (табл. 1.5).

Таблица 1.5

№	1	2	3	4
Матрица В	2 5 6 4 –1 5 2 –6 –1	1 2 1 4 0 5–1 4 –1 3 4 6	1 3 7 2 5 –1 0 4 8 3 3 6 10 –4 7	2 0 3 5 1 4 3 1 7 5 0 3 –5 –3 3 2 3 –2 2 4

Замечание. Для вычисления ранга матрицы удобно привести ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований. Количество ненулевых строк, оставшихся после приведения, равно рангу матрицы.

1.10. Решить систему уравнений различными методами. В таблице 1.6 указаны матрица системы А и столбец правых частей В.

Таблица 1.6

№	А	В
1
2
3
4
5
6
7
8

1.11. Исследовать систему на совместность и в случае совместности методом Гаусса найти общее решение, указать хотя бы одно базисное решение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9)

10)