Ответ:
2.84. Решить уравнения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
5. Уравнения вида y(n) = f(x)
Решение.
…,
Пример 2.15.
Решить уравнение: 1.
2.
Решение.
1.
Ответ:
2.
Ответ:
2.85. Установить вид частного решения неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, если:
1)
2)
3)
4)
2.86. Решить уравнение или задачу Коши:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2.9. Последовательности и ряды
Определение. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента
Пример 2.16.
Найти первые три члена последовательности
Решение.
2.87. Найти пять первых членов последовательности
,
если:1)
2)
3)
4)
2.9.1. Предел последовательности
Определение. Число А называется пределом последовательности
,
если для любого сколь угодно малого
числа ε > 0 найдется такой номерN
= N(ε),
что для всех n
≥ N
будет выполняться неравенство −аn
− A−<
ε.Пример 2.17. Доказать, используя определение предела последовательности, что предел последовательности
равен нулю.Решение.
Пусть ε > 0. Составим неравенство
и решим его относительноn.
Получаем:
Итак, для любого ε > 0 существует такой номер
(или целой части дроби), что для всех
выполняется неравенство
,
т. е. предел последовательности
равен нулю. Например, при ε = 0,1N
= 21. 2.88. Доказать, используя определение предела последовательности, что
; 
Пример 2.18. Найти предел последовательности
.Решение.
2.89. Найти предел последовательности:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2.90. Вычислить пределы, используя равенство
2.9.2. Числовые ряды
Определение. Числовым рядом называется сумма
где ап
Пример 2.19 .
Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если
где
частичная сумма ряда;
S − сумма ряда.
В противном случае ряд называется расходящимся.
2.91. Записать формулу общего члена ряда:
2.92. Найти сумму числового ряда:
1)
2)
3)
Достаточный признак расходимости ряда
Если
то ряд
расходится.
Пример 2.20.
Ряд
расходится по
достаточному признаку расходимости,
т. к.
Признаки сходимости рядов с положительными членами:
1. Признак сравнения.
Пусть
и
− ряды с
положительными членами. Если 
то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.
2. Признак Даламбера. Пусть
Если l < 1, то ряд
сходится.Если l > 1, то ряд
расходится.3. Радикальный признак Коши. Пусть
Если l < 1, то ряд
сходится.Если l > 1, то ряд
расходится.4. Интегральный признак Коши. Пусть f(x) − непрерывная, убывающая и положительная на промежутке [1; ∞) функция. Тогда ряд
сходится
(расходится), если сходится (расходится)
интеграл 
Пример 2.21.
Исследовать на сходимость ряд:
Решение.
1.
необходимо
применить один из признаков сходимости
положительных рядов – признак сравнения.При
~
~
сравним
исходный ряд с расходящимся рядом
.
исходный
ряд расходится.2. Применим признак Даламбера (найдем
):
ряд
сходится.3. Применим радикальный признак Коши (найдем
):
ряд
расходится.4. Применим интегральный признак Коши. Функция
непрерывная,
убывающая и положительная на промежутке
[1; ∞).
Интеграл сходится, следовательно, и ряд
сходится.Замечание. С помощью интегрального признака Коши можно доказать, что ряд
сходится
при р
> 1 и расходится при р
≤ 1. 2.93. Исследовать ряд на сходимость:
2)
3)
5)
6)
7)
8)
17)
18)
19)
20)
2.94. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
2.9.3. Степенные ряды
Определение. Степенным рядом называется сумма
где ап
Множество значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
Любой степенной ряд сходится при х = 0 (его сумма S равна а0), т. е. область его сходимости не пуста.
Схема нахождения области сходимости степенного ряда:
1. Найти радиус сходимости ряда
Если R ≠ 0, то ряд сходится на интервале (− R; R).
2. Если R ≠ 0, исследовать ряд на сходимость при х = R и х = −R. В случае сходимости присоединить точку (точки) к интервалу.
Пример 2.22.
Найти область сходимости степенного ряда: 1)
;
2)
.Решение.
Найдем радиус сходимости ряда:
ряд
сходится при
Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид
−
сходится.Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид
−
сходится абсолютно,т.
к. ряд
сходится.Ответ: [–1; 1].
ряд
сходится при
Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид
− расходится.Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид
− сходится по
признаку Лейбница (
члены ряда монотонно убывают по
абсолютной величине).Ответ: [–1; 1).
2.95. Найти область сходимости
степенного ряда:1)
;
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
Формула Маклорена (разложение функции в ряд по степеням х)
~
Разложения в ряд Маклорена некоторых функций
2.96. Разложить функцию в ряд по степеням x и указать область сходимости полученного ряда:
1)
2)
3)
4)
;5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
2.97. Найти решение задачи Коши в виде степенного ряда (первые три члена ряда):
1)
2)
3)
4)
Указание. Найти первые три члена ряда по формуле Маклорена.
Формула Тейлора (разложение функции в ряд
по степеням (х – а))
~
2.98. Разложить в ряд функцию:
1)
по степеням (х
– 1);2)
по степеням
(х +
1);3)
по степеням (x
+ 2);4)
по
степеням (x
– 1).2.99. Вычислить приближенно с заданной точностью:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Контрольные задания
Исследовать ряд на сходимость:
4)
5)
6)
