Точки разрыва функции могут быть Ι рода (выполнено только условие 2 – «устранимый разрыв» или выполнено условие 1, причем в точке
односторонние пределы конечны, но
различны – «скачок») или ΙΙ рода (предел
функции в точке
не существует либо хотя бы один из
односторонних пределов бесконечен).Пример 2.1.
Исследовать функцию на непрерывность:
.Решение.
1. Каждая из составляющих функций является элементарной, значит, каждая из них непрерывна во всех точках, в которых она определена. Точки, «подозрительные» на разрыв: х = 0, х = 1.
Пусть x = 0.
y(0) существует, у(0) = 3∙0 = 0.
Следовательно, в точке х = 0 функция непрерывна по определению.
Пусть х = 1.
y (1) существует; у(1) = 2.
3 ≠ 2, следовательно, точка х = 1 является точкой разрыва 1-го рода (скачок).
2. D(y): x ≠ 1.
Т. к. в точке х = 1 функция не определена, то это точка разрыва.
точка
разрыва второго рода.2.10. Найти точки разрыва функций:
1)
;
2)
;3)
4)
2.11. Исследовать функции на непрерывность:
1)
;
2)
;
3)
4)
5)
;
6)
;7)
8)
;
Контрольные задания
Вариант 1.
1. Найти пределы:
2. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции (указать их характер):
Вариант 2.
1. Найти пределы:
2. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции (указать их характер):
Вариант 3.
1. Найти пределы:
2. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции (указать их характер):
2.3. Производная и дифференциал
Определение. Производной функции f(х) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆х стремящемся к нулю, если этот предел существует:
Производные простейших функций:
1. (
)'
=
;
частные случаи:
;
(
)'
=
.2. (
)'
=
;
частный случай:
3. (
)'
=
;
частный случай: (
)'
=
.4. (sinx)' = cosx. 5. (cosx)' = − sinx.
6. (tgx)' =
.
7. (ctgx)'
=
.8. (arcsinx)' =
.
9. (arccosx)'
= –
.10. (arctgx)' =
.
11. (arcctgx)'
= –
.Правила дифференцирования
1. Производная постоянной:
2. Производная суммы:
3. Производная произведения
.Следствие:
,
т. е. постоянный множитель можно вынести
за знак производной.4. Производная частного:
5. Производная сложной функции:
,
где f = f(x), g = g(x) – дифференцируемые функции.
Пусть функция
задана
параметрически:
Тогда еепроизводная
равна
2.3.1. Примеры вычисления производных
,
11. Найти производную функции, заданной неявно:
Решение.
2.12. Найти производную функции по определению производной:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2.13. Найти производную функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
2.14. Найти производную функции и вычислить ее значение при x = x0:
1)
2)
2.15. Найти производные функций, заданных неявно:
1)
2)
3)
4)
2.16. Найти производную n-го порядка функций:
1)
2)
3)
4)
2.3.2. Применение производной в экономике
2.17. Объем продукции u (ед.) в течение рабочего дня представляет функцию u =
,
гдеt
– время (ч). Найти производительность
труда, скорость и темп ее изменения
через 2 часа после начала работы; за 1
час до ее окончания (при 8-часовом
рабочем дне).2.18. Зависимость между издержками производства y (ден. ед.) и объемом выпускаемой продукции х (ед.) выражается функцией:
а)
б)
Определить средние и предельные издержки при объеме продукции, равном 5 ед.
2.19. Зависимость между себестоимостью продукции С и объемом Q ее производства выражается формулой
Определить эластичность себестоимости
при выпуске продукции, равном 30.Указание. Эластичность функции y(x) равна
где
и
− относительные приращения функции
и аргументов соответственно. Эластичность
функции показывает приближенно, на
сколько процентов изменится функцияy
= f(x)
при изменении аргумента x
на 1 %.2.20. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями: 1) q = 7 − p, s = p + 1; 2)
Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 5 % от равновесной.
2.21. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями q = 9 − p и s = p + 2.
Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10 % от равновесной.
2.22. Функции долговременного спроса q и предложения s от цены p на мировом рынке нефти имеют соответственно вид: q = 30 − 0,9p, s = 16 + 1,2p.
1. Найти эластичность спроса в точке равновесной цены.
2. Как изменятся равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25 %?
2.23. Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия у (млн руб.) и объемом выпускаемых изделий х (тыс. шт.) выражается уравнением
Найти
эластичность себестоимости продукции
предприятия, выпускающего 12 тыс. шт.
изделий. Какие рекомендации можно дать
руководителям предприятий об изменении
величины объема выпускаемой продукции?2.24. Зависимость потребления y от дохода x задается функцией
Показать, что эластичность функции
потребления от дохода не зависит от
параметраа
и стремится
к нулю при неограниченном возрастании
дохода.2.25. Функция потребления некоторой страны имеет вид:
гдеx
− совокупный
национальный доход.Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 32.
2.26. Функция сбережения некоторой страны имеет вид:
гдеx
– совокупный национальный доход.Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27.
2.27. Функция спроса q от цены p описывается формулой
где
иk
– известные величины. Найти, при каких
значениях цены p
спрос будет эластичным.2.28. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса, если выручка V(р) равна произведению цены р на величину спроса q(р).
2.3.3. Дифференциал функции
Определение. Дифференциалом функции у = f(х) называется выражение
Применение дифференциала в приближённых вычислениях: при достаточно малых значениях
х
Пример 2.2.
Вычислить приближенно с помощью дифференциала:
Решение.
2.29. Найти дифференциал функции и вычислить его значение
при заданных x и
х:
2)
3)
4)
2.30. Вычислить приближенно:
1)
2)
3)
4)
Контрольные задания
Вариант 1.
1. Найти производные функций:
а)
б)
2. Найти производную функции, заданной параметрически:
3. Найти производную 2-го порядка:
4. Найти Δy и dy функции
приx
= 2, Δx
= 0,01.5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
Вариант 2.
1. Найти производные функций:
а)
б)
2. Найти производную функции, заданной параметрически:
3. Найти производную 2-го порядка:
4. Найти Δy и dy функции
приx
= 3, Δx
= 0,02.5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
Вариант 3.
1. Найти производные функций:
а)
б)
2. Найти производную функции, заданной параметрически:
3. Найти производную 2-го порядка:
4. Найти Δy и dy функции
приx
= 1, Δx
= 0,03.5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала
2.4. Приложения производной
Одно из приложений производной − правило Лопиталя при вычислении пределов (в случаях неопределенностей
и
):
Примеры.
2.31. Найти пределы по правилу Лопиталя:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;5)
;
6)
;
7)
;
8)
;9)
;
10)
.2.4.1. Исследование функции на монотонность,
Экстремумы и выпуклость.
Асимптоты графика функции
Определение. Критической точкой функции у = f(х) называется точка
в которой производная равна нулю или
не существует.Теорема. Если в промежутке (а; b) производная
положительна/отрицательна,
то в этом промежутке функция
возрастает/убывает.Теорема. Если при переходе через критическую точку
производная
меняет
знак с «+» на «−»
(с «−»
на «+»), то
−
точка максимума
(минимума) функции
Определение. Функция
называетсявыпуклой
вверх
(вниз)
в промежутке (а; b),
если в этом промежутке точки графика
лежат под (над) касательными, построенными
в этих точках. Точкой
перегиба
называется точка графика функции,
которая делит его на части с разными
направлениями выпуклости.Пример 2.3.
Исследовать функцию
на монотонность и экстремумы, выпуклость.Решение.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы.
Сделаем рисунок (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Исследование функции на монотонность и экстремумы
х = 1,5 – точка минимума, ymin =
Исследуем функцию на выпуклость.