Контрольные задания
Вариант 1.
Решить матричное уравнение:
.Решить систему методом Крамера:
При каких значениях параметра к система не имеет решений, имеет бесконечно много:
Решить методом Гаусса:
Вариант 2.
Продуктивна ли матрица:
Решить систему матричным методом:
Решить методом Гаусса:
Решить задачу.
В первенстве России по футболу Спартак и Динамо вместе набрали на 11 очков больше, чем удвоенное число очков ЦСКА, утроенное число очков Динамо на 2 очка меньше, чем сумма удвоенного числа очков Спартака и ЦСКА. Известно, что число очков, набранных каждой командой, лежит в диапазоне от 15 до 25. Найти количество набранных каждой командой очков.
Вариант 3.
При каком значении m матрица не имеет обратной:
Решить систему матричным методом:
Решить методом Гаусса:
При каких значениях параметров а, в, с система имеет решение x = 2, y = 1, z = 3:
Векторная алгебра
В этом параграфе рассматривается привычное понятие вектора, алгебраическая и геометрическая интерпретация операций над векторами, вводится обобщающее понятие векторного пространства как множества объектов разной природы, для которых заданы алгебраические операции сложения и умножения на число, удовлетворяющее определенным свойствам [3, c. 130].
Векторы. Линейные операции над векторами
В геометрии вектором называют направленный отрезок. Вектора можно складывать, вычитать, умножать на число. Если зафиксировать базис пространства, то произвольный вектор можно разложить по базису, коэффициенты этого разложения называются координатами вектора в этом базисе. Обычно рассматривают ортонормированный базис {
}
векторы которого имеют единичную длину
и перпендикулярны друг другу. Тогда,
разложив вектор по базису
=
– координатная запись. Если вектора
записаны в координатах, то операции
сложения и умножения на число выполняютсяпокоординатно,
что согласуется с геометрическим
определением суммы, разности и умножения
на число.1.21. По данным векторам
,
построить векторы:
=
+
2
,
=
0,5
–
2
и найти их координаты:1)
=
(1; 2),
=
(2; –1); 2)
=
(–1; 1),
= (3; 1);3)
=
(–2; –2),
=
(1; 1); 4)
=
(2; 4),
=
(1; –1).1.22. В треугольнике АВС проведена медиана АD. Выразить вектор
через векторы
=
,
=
.1.23. В некотором базисе даны векторы
= (1; 2; 1),
= (2; 1; 1),
= (–1;
–2; –1). Найти все значения параметра
m,
при которых вектор
=
(2; 3;m)
линейно выражается через векторы
.Задача о разложении вектора по базису
Имеются три вектора
=
(–2; 0; 1),
= (1; –1; 0),
= (0; 1; 2).
Выяснить, является ли вектор
= (2; 3; 4)
линейной комбинацией векторов
.
Найти его разложение по базису.Решение.
Пусть
=
х
+ у
+ z
.
Необходимо
найти коэффициенты разложения х, у, z.Имеем, (2; 3; 4) = x(–2; 0; 1) + y(1; –1; 0) + z(0; 1; 2) или
(2; 3; 4) = (–2х + у; –у + z; х + 2z).
Приравняв координаты, получаем систему уравнений:
Решаем её (х, у, z) = (–1,2; –0,4; 2,6), т. е вектор имеет разложение:
=
–1,2
–0,4
+ 2,6
. 1.24. Даны четыре вектора
,
,
,
втаблице
1.13. Таблица 1.13
№
1
(4, 5, 2)
(3, 0, 1)
(–1, 4, 2)
(5, 7, 8)
2
(3, –5, 2)
(4, 5, 1)
(–3, 0, –4)
(–4, 5, –2)
3
(–2, 3, 5)
(1, –3, 4)
(7, 8, –1)
(1, 9, 2)
4
(1, 3, 5)
(0, 2, 0)
(5, 7, 9)
(0, 4, –2)
Показать, что первые три из них образуют базис и найти координаты четвертого вектора в этом базисе.
