а) на карточке написано число, делящееся на 3;
б) на карточке написано число, делящееся на 3 и на 5;
г) на карточке написано число больше 90;
д) на карточке написано число больше 10 и меньше 20;
е) на карточке написано число, делящееся на 5, но не делящееся на 7.
Существует ли событие, связанное с этим опытом, вероятность которого равна 0,11? Если да, то какое это событие?
3.30. В урне 6 белых, 7 черных и 3 красных шаров. Найти вероятность события: A – вытащить наугад красный шар, B – вытащить наугад три шара разного цвета, C – вытащить наугад три шара так, чтобы хотя бы один шар был белым, D – вытащить наугад три шара так, чтобы два шара были белыми и один черный.
3.31. В урне 5 белых, 3 черных и 8 красных шара. Найти вероятность события: A – вытащить наугад черный шар, B – вытащить наугад три шара разного цвета, C – вытащить наугад три шара так, чтобы хотя бы один шар был красным, D – вытащить наугад три шара так, чтобы два шара были белыми и один красный.
3.32. Известно, что среди 15 книг имеется 5 бракованных, внешне не отличимых от доброкачественных. Наугад выбирается 5 книг. Найти вероятность события:
а) все 5 книг доброкачественные;
б) все 5 книг бракованные;
в) среди выбранных 5 книг ровно 2 бракованные;
г) среди выбранных 5 книг не более двух бракованных;
д) среди выбранных 5 книг не менее двух бракованных;
ж) среди выбранных 5 книг хотя бы три доброкачественные;
з) среди выбранных 3 книг по крайней мере две доброкачественные;
и) все выбранные 4 книги доброкачественные или бракованные.
3.2.7. Геометрический подход к понятию вероятности
Пусть попадание в область G точки, брошенной наугад, является достоверным событием. Рассмотрим область g, лежащую внутри области G, и обозначим через A событие – попадание точки, брошенной наугад в область g.
Определение. Вероятность события A равна отношению мер областей
и
и не зависит ни от места расположения
области
g
внутри
области G,
ни от формы области g.
Если меры областей g
и
G
в
общем случае обозначать
mes
g
и
mes
G
соответственно,
то вероятность события A
равна:
G
(3.9)
g
Замечание. В том случае, когда рассматриваются трехмерные области, то вероятность попадания точки, брошенной наугад в область g, равна отношению их объемов, если же области двухмерные, то отношению их площадей, а если одномерные, то отношению их длин.
Пример 3.26. Стрелок стреляет по мишени. Пусть попадание в мишень является достоверным событием. Какова вероятность попадания в область мишени, соответствующую 10 баллам, если её площадь
равна 1 кв. ед., а площадь всей мишени
– 10 кв. ед.?Полагая, что события, состоящие в попадании в определенную точку мишени, равновероятны, тем не менее использовать классический подход к понятию вероятности в данной ситуации невозможно, т. к. невозможно подсчитать как количество благоприятных исходов, равное числу точек области, соответствующей десяти очкам, так и количество всех элементарных исходов, соответствующих числу всех точек мишени. Следовательно, для решения данной задачи необходим другой подход к понятию вероятности – геометрический.
Пусть событие A состоит в попадании точки, брошенной наугад в область g, тогда в соответствии с (3.9) имеем:
Пример 3.27. На отрезке АВ = 15 см произвольным образом выделен отрезок MN = 3 см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка X. Какова вероятность попадания точки X на отрезок MN?
Обозначим через A – попадание точки X на отрезок MN. Используя геометрический подход к определению понятия вероятности, получим:
Пример 3.28. Пусть событие A – случайным образом отмеченная на отрезке АВ точка X совпадет с его серединой. Какова вероятность точки, брошенной наугад, попасть в точку Х, если длина отрезка АВ равна 10.
Для нахождения вероятности события A используем геометрический подход к определению понятия вероятности. Заметим, что в математике принято считать площадь точки равной нулю, следовательно, и ее «длина» также равна нулю. Учитывая это замечание, получим:
Замечание. В предыдущей задаче вероятность события A – попадания точки наугад в середину отрезка АВ – равна нулю, как, впрочем, и вероятность попадания в любую другую точку отрезка. Однако такие события не являются невозможными.
Таким образом, как для статистической вероятности, так и для геометрической вероятности утверждение: «Если событие невозможное, то его вероятность равна нулю» является всегда истинным, а обратное ему утверждение: «Если вероятность события равна нулю, то оно является невозможным» – нет.
3.33. На отрезке АВ = 12 см произвольным образом выделен отрезок MN = 2 см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка X. Какова вероятность попадания точки X на отрезок: а) AM; б) AN; в) MN; г) MB; д) AB?
3.34. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?
3.35. Поверхность рулетки разделена на секторы следующим образом: равные секторы 1 и 2 занимают половину площади круга, а вторая его половина разделена на три равных сектора 3, 4 и 5.
Найти вероятность того, что после раскручивания стрелка рулетки случайным образом остановится в секторах:
а) 1;
б) 3;
в) 1 или 2;
г) 4 или 5;
д) 1 или 5;
е) с четным номером;
ж) с нечетным номером;
з) с номером не менее 3-х.
3.2.8. Аксиоматическое определение
Понятия вероятности
Приведем аксиоматическое определение вероятности, предложенное А. Н. Колмогоровым.
Каждому случайному событию А из поля событий ставится в соответствие неотрицательное число P(А), называемое вероятностью.
2. P(Ω) = 1, где Ω − пространство элементарных событий.
3. Аксиома сложения. Если события
попарно несовместны, то
Отсюда следует:
вероятность невозможного события равна нулю
для любого события А выполняется условие
