2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
1)
2)
3)
3. Найти область сходимости ряда:
1)
2)
3)
4. Разложить в ряд функцию:
по
степеням (х–1);
по
степеням (х+1);
по
степеням (x+2).5. Вычислить приближенно с заданной точностью:
1. а)
б)
2. а)
б)
3. а)
б)
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Теория вероятностей и математическая статистика − разделы математики, наиболее широко используемые в самых различных областях деятельности от маркетинговых исследований до социального прогнозирования. Для успешного овладения навыками решения прикладных задач необходимо освоить основные теоретические и практические аспекты теории вероятностей и математической статистики.
3.1. Элементы комбинаторики
При решении вероятностных задач часто используются формулы комбинаторики – одного из разделов математики, который изучает различные комбинации, составленные из заданного конечного множества различимых между собой объектов различной природы (буквы алфавита, цифры, предметы и др.).
3.1.1. Факториал
Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от n до
Факториал натурального числа n обозначается n! и читается «эн факториал»
(3.1)
Факториал нуля равен единице
Пример 3.1. Сократить дробь:
Пример 3.2. Сократить дробь:
3.1.2. Перестановки
Определение. Комбинации из n элементов множества, отличающиеся порядком, называются перестановками.
Число перестановок из n элементов обозначается Pn.
P n = n! (3.2)
Пример 3.3. Сколькими способами можно разместить на полке три книги?
В данной задаче необходимо найти число перестановок из четырех элементов. Существует четыре варианта выбора первой книги. Далее остается три варианта выбора второй книги, два варианта третьей книги и один способ выбора четвертой книги.
Таким образом, число способов N разместить четыре книги на полке равно произведению чисел 4, 3, 2 и 1, т. е.
способа.Пример 3.4. Сколько различных буквенных комбинаций можно составить из букв слова «апельсин»?
Слово «апельсин» состоит из 8 различных букв, поэтому число буквенных комбинаций равно числу перестановок из 8 элементов, то есть применима формула (3.2)
P8 = 8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 40320 способов.
Интересно отметить, что из всех этих комбинаций только одна – спаниель – является осмысленным словом русского языка.
3.1. Сократить дробь:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
3.2. Сколько различных предложений можно составить из трех слов: «сегодня», «идет», «дождь»?
3.3. Сколько различных пятизначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4 и 5?
3.4. Сколькими способами можно разместить четырех пассажиров в четырехместном купе поезда?
3.5. Порядок выступления семи участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?
3.1.3. Размещения
Определение. Размещениями из n элементов по k (n ³ k) называют множество комбинаций из k элементов, выбираемых из n элементов, отличающихся составом или порядком.
Число размещений из n элементов по k принято обозначать
Пусть необходимо найти число размещений из n элементов по k. Существует n способов выбора первого элемента. После того как он выбран, остается (n − 1) способ выбора второго элемента. Для выбора третьего элемента остается (n − 2) способа, и вообще после выбора элементов от первого до (k − 1)-го остается (n – k + 1) способов для выбора k-го элемента. Таким образом, имеем
Ank = n × (n − 1) × (n − 2) ×…× (n – k + 1). (3.3)
Домножив и разделив правую часть формулы (3.3) на (n − k)!, получим:
(3.4)Заметим, что понятие перестановок можно определить используя понятие размещений.
Определение. Размещения из n элементов по n называются перестановками.
Действительно, учитывая (3.3), имеем:
Pn = Ann = n × (n − 1) × (n − 2) ×…× (n – n + 1) = n!.
Используя формулу (3.4), получим тот же результат:
С помощью данного соотношения легко объяснить, почему принято считать 0!=1.
Пример 3.5. Сколько двухбуквенных комбинаций, не содержащих повторений, можно составить из 32 букв русского алфавита?
В данной задаче необходимо найти число размещений из 32 элементов по 2 по формуле (3.3):
двухбуквенных
комбинаций.По данным «Словаря русского языка», из этих 992 комбинаций только 114 являются словами. Например, да, ад, еж, яр и т. д.
Пример 3.6. Учащиеся 9 класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков?
По условию задачи расписание на один день должно быть составлено из 6 различных уроков, а всего 10 предметов. Поскольку важен порядок расположения уроков в расписании (какой урок первый, какой − второй и т. д.), следовательно, необходимо найти число размещений из 10 элементов по 6. Таким образом, в соответствии с формулой (3.4) получим:
Сколько различных шестизначных телефонных номеров, не содержащих одинаковых цифр, можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9?
В классе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать трех учащихся для участия в олимпиадах по математике, русскому языку и биологии?
В соревнованиях по бегу принимают участие 20 спортсменов. Сколькими способами могут быть распределены между участниками первое, второе и третье места?
Сочетания