Построение моделей задач, сводящихся к системам линейных уравнений
Пример 1.8. Отца спросили, сколько лет двум его сыновьям. Тот ответил, что удвоенный возраст старшего сына на 18 лет превышает сумму возрастов обоих сыновей, а возраст младшего на 6 лет меньше разности их возрастов. Сколько лет каждому сыну?
Решение. Построим математическую модель задачи как систему двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть х – возраст младшего сына, а у – возраст старшего сына. Имеем:
Ответ. Младшему сыну 12 лет, а старшему 30 лет.
1.12. Построить модели к старинным математическим задачам в виде системы уравнений и решить их.
1) В семье были и сыновья и дочери. Каждый сын имел столько братьев, сколько сестер, а каждая сестра имела в два раза больше братьев, чем сестер. Сколько сыновей и сколько дочерей имела эта семья?
2) Три цыпленка и одна утка проданы за ту же сумму, что и два гуся, а еще один цыпленок, две утки и три гуся проданы вместе за 25 долларов. Сколько стоит каждая птица, если цены выражаются целым числом долларов?
3) Некто купил 30 птиц за 30 монет. За каждых трех воробьев – 1 монета, за 2 горлицы – 1 монета, за 1 голубя – 2 монеты. Всего было куплено 30 птиц за 30 рублей. Сколько было птиц каждой породы?
4) Торговец скотом купил некоторое количество лошадей по 344 доллара и некоторое количество волов по 265 долларов. Он обнаружил, что все лошади обошлись ему на 33 доллара дороже, чем волы. Какое наименьшее количество лошадей и волов он мог купить при этих условиях?
5) Девять мальчиков и три девочки решили разделить поровну свои карманные деньги. Каждый мальчик передал одинаковую сумму каждой девочке, а каждая из девочек отдала также одинаковую (но другую) сумму каждому мальчику. У всех детей после этого денег стало поровну. Какова та наименьшая сумма, которая могла быть первоначально у каждого из них?
6) Одному человеку не без труда удалось уговорить Вилли-Лежебоку взяться за работу. Вилли должен был работать в течение 30 дней, получая по 8 долларов в день при условии, что за каждый день прогула он платит штраф 10 долларов. В конце месяца выяснилось, что никто никому не должен ни цента. Это обстоятельство окончательно убедило Вилли в том, что «работа дураков любит». Можете ли Вы сказать, сколько дней он работал, а сколько прогулял?
7) Фермер купил на рынке 100 голов скота на общую сумму 1000 долларов. Одна корова стоила 50 долларов, одна овца – 10 долларов и один кролик – 50 центов. Сколько денег израсходовал фермер на покупку коров, овец и кроликов в отдельности?
8) Когда одного мальчика спросили, сколько лет ему и его сестре, он ответил:
–Три года назад я был в 7 раз старше сестры, два года назад – в 4 раза, в прошлом году – в 3 раза, а в этом году я в 2,5 раза старше ее. Сколько лет мальчику и его сестре?
1.1.6. Применение элементов линейной алгебры в экономике
Математические модели некоторых экономических задач могут быть записаны в виде систем линейных уравнений или матричных уравнений и решаться методами линейной алгебры и матричного анализа. Рассмотрим примеры таких задач [3, с. 107].
1.13. Обувная фабрика специализируется на выпуске изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трёх типов: S1, S2, S3. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на один день заданы таблицей 1.7. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.
Таблица 1.7
|
Вид сырья |
Норма расхода сырья на одну пару |
Расход сырья | |||
|
Сапоги |
Кроссовки |
Ботинки | |||
|
S1 |
5 |
3 |
4 |
2700 | |
|
S2 |
2 |
1 |
1 |
800 | |
|
S3 |
3 |
2 |
2 |
1600 | |
1.14. С двух фабрик поставляются меховые шкурки для двух ателье, потребности которых соответственно 200 и 300 шкурок. Первая фабрика выпустила 350 шкурок, а вторая – 150. Известны затраты на перевозку меха с фабрики в каждое ателье (табл. 1.8). Суммарные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед.
Таблица 1.8
|
Фабрика |
Затраты на перевозку в ателье, ден. ед. | |
|
1 |
2 | |
|
1 |
15 |
20 |
|
2 |
8 |
25 |
Найти план перевозок меха.