Вариант 3.
1. Найти
2. Исследовать функцию и построить ее график:
2.5. Неопределенный интеграл
Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F′(x) = f(x).
Определение. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется семейство ее первообразных:
где F(x) – некоторая первообразная для f(x);
C – произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла
Таблица интегралов
1.
2.
3.
Частный случай:
4.
5.
6.
7.
8.
Частный случай:
9.
Частный случай
10.
11.
Примеры.
2.50. Найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;11)
;
12)
;
13)
;
14)
.2.51. Найти интегралы:
1)
2)
3)
;
4)
;5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;17)
18)
2.5.1. Метод замены переменной
в неопределенном интеграле
где
– дифференцируемая функция.Примеры.
2.52. Найти интегралы методом замены переменной:
1)
2)
3)
4)
;
5)
6)
7)
;
8)
9)
10)
;
11)
12)
;13)
14)
15)
;16)
;
17)
;
18)
Пример 2.4.
2.53. Найти интегралы от рациональных функций.
1)
;
2)
;
3)
dx;4)
;
5)
;
6)
;7)
8)
9)
dx;10)
;
11)
;
12)
Пример 2.5.
2.54. Найти интегралы от иррациональных функций:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
5)
6)
;
7)
2.55. Найти интегралы от тригонометрических функций:
1)
2)
3)
4)
5)
;
6)
;
7)
8)
9)
10)
11)
2.5.2. Метод интегрирования по частям
в неопределенном интеграле
Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые функции. Тогда справедливо равенство (формула интегрирования по частям):
Примеры.
2.56. Найти интегралы, применяя интегрирование по частям:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
2.57. Найти интегралы:
1)
2)
3)
;
4)
;5)
6)
;
7)
8)
dx;
9)
10)
;
11)
12)
13)
14)
15)
2.6. Определенный интеграл
Определение. Определенным интегралом от функции f(х) называется предел интегральной суммы:
При этом функция f(х) называется подынтегральной функцией, а и b – нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.
Укажем свойства определенного интеграла, которые будут необходимы при решении задач:
1.
2.
3.
4.
Геометрический смысл определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = f(х), равна
2.6.1. Правила вычисления определенного интеграла
1. Формула Ньютона–Лейбница:
где F′(x) = f(x).
2. Замена переменной:
где x =
– функция, непрерывная вместе с
на отрезке
– функция, непрерывная на отрезке
.3. Интегрирование по частям:
где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые на [a, b] функции.
4. Если f(x) – нечетная функция, то
5. Если f(x) – четная функция, то
Примеры.
1)
2.58. Вычислить интегралы:
1)
2)
3)
;
4)
5)
;
6)
7)
;
8)
9)
10)
11)
;
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
2.6.2. Геометрические приложения
Определенного интеграла
Пример 2.6.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2, х = у2.
Решение.
Графики функций пересекаются в точках (0; 0), (1; 1) (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Площадь фигуры
2.59. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
1)
2)
5)
;
6)
7)
8)
9)
10)
2.60. Найти объем тела, образованного вращением вокруг осей Ох и Оу плоской фигуры, ограниченной линиями:
2)
4)
Указание. Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг осей координат Ох и Оу, соответственно равен:
2.61. Найти длину дуги кривой:
1)
от х = 0 до х = 1; 2)
от х = 0 до х = 1;3)
от точки О(0; 0) до точкиА(4;
8).Указание. Длина дуги кривой
при
равна
Применение определенного интеграла
В экономике
Дисконтированный доход при непрерывном начислении процентов равен
где
– функция ежегодного дохода;i – удельная норма процента;
T – время начисления дохода.
2.62. Определить дисконтированный доход за T лет при процентной ставке I %, если первоначальное капиталовложение составило 1 млрд руб. и будет увеличиваться ежегодно на 0,2 млрд руб.:
1) T = 5, i = 10; 2) T = 10, i = 2.
Среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от
до
изделий
равно
,где функция t = t(x) часто имеет вид
где а – затраты времени на первое изделие;
b – показатель производительности процесса.
2.63. Найти среднее время, затраченное на изготовление одного изделия, если:
1)
2)
Несобственные интегралы
.Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.
Примеры.
интеграл сходится.
2)
– не существует, интеграл расходится.
интеграл сходится.
2.64. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
1)
2)
;
3)
;
4)
5)
;6)
; 7)
8)
9)
10)
2.65. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Функции нескольких переменных