2. Определители матриц и их свойства

Для каждой квадратной матрицы существует важная числовая характеристика, называемая определителем матрицы, обозначаемая det A, или |A|, или ∆ – «дельта».

Определение (определителя матрицы).

1. Если матрица состоит из одного числа: А = (а)_1×1, то определитель матрицы равен этому числу det A = a.

2. Пусть дана квадратная матрица второго порядка из четырех чисел a, b, c, d . Определитель второго порядка вычисляется как разность между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях:

.

Например, .

3. Определители третьего порядка удобно считать по правилу треугольника. Рассмотрим его схематично (рис. 1.1). Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел. Определителем третьего порядка называется число, определяемое равенством:

Для практики вычислений удобно пользоваться схемой: первые три слагаемые в правой части равенства представляют собой произведения трех элементов определителя, взятых, как показано пунктирами на (рис. 1.1) слева. Чтобы получить следующие три члена, нужно перемножить элементы определителя по три так, как показано пунктирами на той же схеме справа, и взять их с противоположным знаком (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Правило треугольника для вычисления определителя

Пример 1.3. Вычисление определителя по правилу треугольника.

.

4. Определители высших порядков можно вычислить, раскладывая их по любой выбранной строке или столбцу, сведением к определителям меньших размерностей по формуле: . Суммирование ведется по одному индексу.А_ij называется алгебраическим дополнением к элементу а_ij , это определитель матрицы меньшего порядка, получаемый из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-го столбца.

Пример 1.4. Вычисление определителя четвертого порядка разложением по первой строке.

= 1 ٠ –2 ٠+ 2 ٠–0٠ = = 1 ٠(3–18) – 2٠(2+1) + 2٠(–3)= –15 – 6 – 6 = –27.

1.4. Вычислить определители 2-го и 3-го порядков:

1) ; 2); 3); 4);

5) ; 6); 7); 8).

1.5. Вычислить определители матриц (табл. 1.3) разложением по элементам целесообразно выбранной строки (столбца).

Таблица 1.3

№	1	2	3	4
Матрица	1 0 3 1 0 1 –1 2 2 –1 1 0 –1 0 1 4	2 3 –1 1 1 0 –1 2 0 –3 0 1 1 2 3 0	1 2 2 0 –1 0 1 –3 0 0 –2 1 0 3 1 1	4 6 –2 4 1 2 –3 1 4 –2 1 0 6 4 4 6

3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Определение. Матрица А^–1 называется обратной к матрице А, если А٠А^–1 = А^–1٠А = Е.

Теорема. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.

Обратная матрица находится по формуле:

, где Т – транспонирование матрицы, а – присоединенная матица, состоящая из алгебраических дополнений.А_ij – это определитель матрицы меньшего порядка, получаемый из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-го столбца, взятый со знаком .

Для матриц размера обратная матрица может быть найдена по формуле:

1.6. Найти обратные матрицы для следующих матриц (табл. 1.4)

Таблица 1.4

№	1	2	3	4	5
Матрица	1 2 3 4	3 4 5 7	–3 2 4 2 1 0 1 0 1	2 5 7 6 3 4 5 –2 –2	1 2 3 0 1 2 0 0 1

1.7. При каких значениях матрица А не имеет обратной:

1. ; 2) ;3).

Пример 1.5. Решение матричного уравнения.

Пусть дано матричное уравнение

Нужно найти матрицу Х.

_{Обозначим} А =, а В =, тогда имеем уравнение Х ٠ А = В. Умножим обе части справа на А^–1_:

Применяя ассоциативность умножения матриц,

При решении матричных уравнений важно следить за тем, с какой стороны нужно умножать, в силу неперестановочности умножения матриц.

Найдем матрицу А–1 , предварительно вычислим определитель:

Найдем А===.

Итак,

Проверка: – верно.

1.8. Решить матричное уравнение:

1) ; 2);

3. ; 4) ;

5) ; 6).