313. и .

315. Глава 2. Математический анализ

316. Основные разделы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и нескольких переменных, дифференциальные уравнения, числовые и степенные ряды широко используются при решении прикладных экономических задач. Все перечисленные разделы тесно взаимосвязаны и образуют стройную аксиоматическую теорию. Ряд заданий главы взят из пособия [4].

318. 2.1. Функции одной переменной

320. На множестве Х задана функция у = f(х), если каждому элементу х множества Х поставлен в соответствие определенный элемент у множества Y.

321. Область определения функции f(х) – это множество значений аргумента х, на котором она определена. Обозначается D(f).

322. Определение. Функцияназываетсячетной/нечетной, если для любого выполняется равенство

323. 

324. 2.1. Найти область определения функции:

325. 

326. 2.2. Выяснить четность (нечетность) функции:

327. 

328. 

329. 2.3. Построить график функции и указать ее свойства:

330. 

331. 

332. 

333. 

334. 2.4. Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс. руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9 %. Полагая зависимость стоимости автомобиля от времени эксплуатации линейной, найти его стоимость через 4,5 года.

335. 2.5. Зависимость уровня потребления y некоторого вида товара от уровня дохода семьи x выражается формулой . Найти уровень потребления товара при уровне дохода семьи 158 ден. ед. Известно, что прих = 50, y = 0; при х = 74, y = 0,8; прих = 326, y = 2,3.

336. 2.6. Банк выплачивает ежегодно 5 % годовых (сложный процент). Определить: a) размер вклада через три года, если первоначальный вклад составлял 10 тыс. руб.; б) размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад (вместе с начисленными процентами) составит 10 тыс. руб.

337. Указание. Размер вклада черезt лет определяется по формуле

338. 

339. где первоначальный вклад;

340. p – годовая процентная ставка.

341. 2.7. Затраты на производство продукции y (тыс. руб.) выражаются уравнением y = 100 + 10x, где х −число месяцев. Доход от реализации продукции выражается уравнением y = 50 + 15x. Начиная с какого месяца производство будет рентабельным?

343. Контрольные задания

1. Найти область определения функции:

345. 

346. 

347. 

349. 2. Выяснить четность (нечетность) функции:

350. 

351. 

352. 

354. 3. Построить график функции:

355. 

356. 

357. 

358. 2.2. Предел и непрерывность функции

360. Определение. Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀ (), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε) > 0, что для всехх ≠ х₀, удовлетворяющих условию |x – x₀|< δ, выполняется неравенство |f(x) – A| < ε.

361. Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х→∞ (), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое числоМ = М(ε) > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию |x| > М, выполняется неравенство |f(x) – A| < ε.

363. Некоторые свойства пределов

364. Пусть Тогда:

365. 1.

366. 2.

367. 3.

368. Примеры.

369. 1)

370. 2)

371. 3)

372. 

373. 4)

375. 5)

376. 6)

377. 7)

378. 2.8. Найти пределы:

379. 

380. 5) ; 6);

381. 7) ; 8); 9);

382. 10) ; 11); 12);

383. 13) ; 14); 15);

384. 16) ; 17);

385. 18) ; 19); 20);

386. 21) ; 22); 23); 24); 25); 26);

387. 27) ; 28); 29); 30).

391. 2.2.1. Замечательные пределы

392. Замечательный предел № 1:

393. Следствие 1.

394. Следствие 2.

395. Следствие 3. При sin kx ~ kx.

396. Замечательный предел № 2:

397. или

398. Примеры.

400. 1) (1-й способ).

401. , т. к. при sin 2x ~ 2x (2-й способ).

402. т. к. при sin x/2 ~ x/2.

403. т. к. при sin x ~ x.

404. 

405. 

406. 

407. 2.9. Найти пределы:

408. 1) ; 2); 3);

409. 4) ; 5); 6);

410. 7) ; 8); 9);

411. 10) ; 11); 12);

412. 13) ; 14); 15);

413. 16) ; 17)18);

414. 19) ; 20)21);

415. 22) ; 23); 24);

416. 25)26)

418. 2.2.2. Непрерывность функции в точке

420. Определение. Функцияназываетсянепрерывной в точке если выполняются условия:

1. определена в точке х = а.

2. 

3. Значение функции в точке х = а равно пределу в этой точке, т.е.