1483. 3.24. На книжной полке стоит собрание сочинений из 20 томов. Сколькими способами можно переставить книги так, чтобы первый и второй тома стояли рядом? Сколькими способами можно переставить книги так, чтобы третий и четвертый тома не стояли рядом?

1485. Контрольные вопросы

1. Сформулировать определение понятия факториала. Как вычисляется факториал натурального числа?

2. Сформулировать определение понятия перестановок. Как вычисляются перестановки?

3. Сформулировать определение понятия размещений. Как вычисляются размещения?

4. Сформулировать определение понятия сочетаний. Как вычисляются сочетания?

5. Сформулировать правило сложения. Привести примеры применения правила сложения для решения задач комбинаторики.

6. Сформулировать правило произведения. Привести примеры применения правила произведения для решения задач комбинаторики.

1. Элементы теории вероятностей

1489. При рассмотрении отдельных испытаний нельзя предсказать заранее их исход. Например, мы не может заранее предсказать выпадет орел или решка при бросании монеты; сколько раз выпадет шестерка при пятикратном бросании игральной кости; попадет стрелок в цель или промахнется; сколько доброкачественных изделий окажется среди отобранных десяти, выпущенных на одном заводе, и др. Однако если рассматривать большое число испытаний, проводимых в одинаковых условиях (серия испытаний), то проявляется определенная закономерность. Например, при бросании монеты 1000 раз примерно 500 раз выпадет орел.

1490. Таким образом, теория вероятностей изучает закономерности случайных массовых явлений.

1492. 3.2.1. Основные понятия теории вероятностей

1494. К основным понятиям теории вероятностей относятся: испытание (опыт, эксперимент), случайное событие (исход, шанс, успех), относительная частота появления события и вероятность.

1495. Испытание в теории вероятностей понимается очень широко. Это и специально организованный эксперимент, и простое наблюдение, и мысленный эксперимент (обдумывание всех возможных результатов предполагаемого опыта).

1496. Определение. Случайное событие (событие) − результат испытания, который при реализации определенного комплекса условий может произойти или не произойти.

1497. В теории вероятностей события принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т. д.

1498. Например, случайными событиями являются:

• выпадение орла (решки) в испытании, связанном с бросанием монеты;

• выпадение какого-либо числа от 1 до 6 в испытании, связанном с бросанием игральной кости;

• попадание (промах) при стрельбе;

• выпуск бракованного изделия в массовом производстве.

1499. Определение. Серия испытаний − проводимые многократно, при реализации определенного комплекса условий, испытания.

1500. Например, к сериям испытаний можно отнести:

• многократное бросание монеты;

• выпуск большого числа изделий на одном и том же станке;

• многократная стрельба по мишени из одного и того же орудия при неизменных условиях.

1502. 3.2.2. Классификация событий

1504. Определение. События, которые при реализации определенного комплекса условий всегда происходят, называются достоверным. Например, выпадение числа от 1 до 6 включительно на верхней грани при бросании игральной кости.

1505. Определение. События, которые при реализации определенного комплекса условий никогда не происходят, называются невозможными. Например, при бросании игральной кости никогда не выпадет число больше шести и меньше единицы.

1506. Определение. События, которые при реализации определенного комплекса условий никогда не могут произойти одновременно в результате одного испытания, называются несовместными. Например, несовместными являются события, состоящие в одновременном:

• выпадении орла и решки в результате одного бросания монеты;

• выпадении на верхней грани игральной кости чисел 2 и 3 или любых двух чисел от 1 до 6 при ее однократном бросании;

• попадании и промахе при одном выстреле по мишени.

1507. Определение. Два события называются противоположными, если в результате одного испытания всегда происходит одно и только одно из этих событий. В теории вероятностей событие, противоположное событию принято обозначать(читается «неА»). Например, противоположными являются события:

• выпадение орла и выпадение решки в результате одного бросания монеты;

• попадание и промах при одном выстреле по мишени.

1508. Определение. События образуют полную группу, если в каждом испытании реализуется одно и только одно из попарно несовместных событий. Например, полную группу образуют следующие события:

• выпадение орла или решки в результате одного бросания монеты;

• выпадение чисел от 1 до 6 при однократном бросании игральной кости;

• попадание или промах при одном выстреле по мишени.

1509. Учитывая определение понятия несовместных событий, противоположные события можно определить иначе.

1510. Определение. Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными.

1511. Замечание. Понятие несовместных событий является более широким по отношению к понятию противоположных событий, так как все противоположные события являются несовместными, но не все несовместные события являются противоположными. Например, при однократном бросании игральной кости выпадение чисел 5 или 6 на ее верхней грани являются событиями несовместными. Однако эти события не являются противоположными, поскольку возможны события, связанные с выпадением чисел от 1 до 4.

1512. Определение. События А и В называются независимыми, если в результате проведения испытания, наступление или ненаступление одного события не влияет на наступление или ненаступление другого события. Например, независимыми являются следующие события:

• выпадение орла на первой монете и решки на второй монете в испытании с бросанием двух монет;

• выпадение орла при первом бросании и орла при втором бросании монеты;

• выпадение числа 6 при первом бросании и числа 2 при втором бросании игральной кости;

• попадание в цель первым, вторым или третьим стрелками.

19. Какие из перечисленных событий являются достоверными, а какие невозможными: