1. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения

129. Любую квадратную матрицу можно рассматривать как линейный оператор, действующий на векторах. Матрица линейного оператора строится следующим образом: фиксируем базис линейного пространства (е₁, е₂) и действуем на базисные вектора данным преобразованием φ. Например, рассмотрим поворот на 60(рис. 1.2); при этом базисные вектора переходят в вектора е₁', e₂'. Раскладываем эти образы по прежнему базису, коэффициенты разложения образуют столбцы матрицы линейного оператора преобразования.

130. e₁= i =

131. e₂ = j =

132. A = .

134. Рис. 1.2. Линейное преобразование поворота на 60˚

136. Определение. Вектор х называется собственным для матрицы А, если Ах = λх или (А – λЕ) х =0. Собственные числа λ являются корнями характеристического уравнения det (A – λE) = 0.

137. 1.33. Линейный оператор в базисе задан матрицей А. Найти образгде:

138. 1)= 4–3, А=; 2) = 2+ 4–,

139. А =

140. 1.34. Проверить непосредственным вычислением, какие из данных ниже векторов являются собственными векторами матрицы А, и указать соответствующие собственные значения:

142. ,

144. 1.35. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных матрицами:

145. 1) А = 2) А =

146. 3) А = 4) А =

148. Задача о нахождении соотношения сбалансированности торговли

150. Постановка задачи. Пусть имеется несколько стран с известными национальными доходами Х = (х₁, х₂, …, х_n). Структурная матрица торговли А показывает долю национального дохода, которую страна тратит на покупку товаров других стран и внутри своей страны. Требуется найти соотношение национальных доходов для сбалансированности торговли.

151. Математически эта задача сводится к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению 1.

152. Пример 1.10. Задана структурная матрица торговли . Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной торговли.

153. Решение:

154. = .

156. = = (0,5 – )٠(0,6 – ) – 2 = 0,3 – 0,5 – 0,6+² – 0,2 = ² – 1,1 + 0,1 = 0.

158. Находим корни уравнения – собственные значения матрицы. Действительно, = 1,= 0,1. Тогда, собственный вектор для = 1: (А – 1Е)٠Х=•=.

160. Имеем систему . Собственный вектор Х = (0,8; 1).

161. Соотношение доходов получается 0,8 : 1 или 4 : 5.

165. 1.36. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:

167. А = .

169. Найти бюджет первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что бюджет третьей страны равен 1100 усл. ед.

170. 1.37. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:

172. A=.

173. Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле, если сумма бюджетов = 6270 усл. ед.

175. Контрольные задания

177. Вариант 1.

1. Найти разложение вектора a=(7;4;3) по базису e₁=(1;2;0), e₂ =(3; –1; 2), e₃ = (0; 4;–1).

2. Известно, что неколлинеарные векторы x(а;1) и у(в;1) являются собственными векторами матрицы . Найти координатыа и в.

3. Определить длины векторов, на которых построен параллелограмм с диагоналями с = 2i – j + 3k и d = 2i –2j + 4k.

4. Найти площадь треугольника с вершинами: А (2; 1; 4), В (1; 0; 3), С (3; 1; 2).

179. Вариант 2.

1. Найти значение параметра а, при котором вектор (1,а) является собственным для матрицы .

2. Найти длину вектора с = 2a – 3b,если |a| = 3, |b| = 2, угол между ними 60.

3. Образуют ли векторы базис e₁ = (–2, 2, 4), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (2, –3, −4)?

4. При каком значении m вектора a = mi –3j + 2k и b = i + 2j – mk перпендикулярны?