2077. 

2078. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

2079. 

2080. 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

2081. 

2082. 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

2083. 

2084. Характеристиками рассеяния значений дискретной случайной величины вокруг математического ожидания служат дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

2085. Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

2086. (3.25)

2087. Дисперсию удобно вычислять по формуле:

2088. (3.26)

2089. где (3.27)

2092. Свойства дисперсии:

2093. 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

2094. 

2095. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

2096. 

2097. 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

2098. 

2099. Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии:

2100. (3.28)

2101. Пример 3.43. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , закон распределения которой представлен в видетаблицы 3.9.

2102. Таблица 3.9

2103. Закон распределения дискретной случайной величины

      	−5	2	3	4
      	0,4	0,3	0,1	0,2

2105. Математическое ожидание найдем по формуле (3.24):

2106. 

2107. Дисперсию вычислим по формуле (3.26), для этого найдем по формуле (3.27):

2108. 

2109. Далее найдем дисперсию:

2110. 

2111. Вычислим среднее квадратическое отклонение по формуле (3.28):

2112. 

2113. Пример 3.44. Найти математическое ожидание случайной величины если математические ожидания случайных величинисоответственно равныи

2114. Используя свойства математического ожидания 2 (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания) и 4 (математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых) получим:

2115. 

2116. Пример 3.45. Случайные величины инезависимы. Найти дисперсию случайной величиныесли

2117. Так как случайные величины инезависимы, то также независимы случайные величиныи

2118. Используя свойства дисперсии 2 (постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат) и 3 (дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим:

2119. 

2121. 3.3.3. Функция распределения вероятностей

2122. Случайной величины

2124. Определение. Функцией распределения называют функцию определяющую для каждого значениявероятность того, что случайная величинапримет значение, меньшеет. е.

2125. 

2126. Замечание. Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».

2128. Основные свойства функции распределения:

2129. 1. Функция распределения принадлежит отрезку

2130. 

2131. 2. Функция распределения является неубывающей функцией:

2132. если

2133. Следствие. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервалеравна приращению функции распределения на этом интервале:

2134. 

2135. 3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалуто:

2136. при при

2137. Следствие. Справедливы следующие предельные соотношения:

2138. 

2139. Пример 3.46. Закон распределения дискретной случайной величины представлен в видетаблицы 3.10.

2140. Таблица 3.10

2141. Закон распределения дискретной случайной величины

      	2	4	7
      	0,5	0,2	0,3

2143. Найти функцию распределения

2144. Если тотак как значений меньше числа 2 случайная величинапринимать не может.

2145. Если же тоЭто обусловлено тем, что значение 2 случайная величинапринимает с вероятностью 0,5.

2146. При функция распределенияДействительно, случайная величинапринимает значение 2 с вероятностью 0,5 и значение 4 с вероятностью 0,2. Следовательно, одно из этих значений случайная величина может принять (теорема о вероятности суммы несовместных событий) с вероятностью:

2147. 0,2 + 0,5 = 0,7.

2148. В случае, когда функция распределенияпоскольку событие, связанное с тем, что случайная величина принимает значенияявляется достоверным и его вероятность равна единице.

2149. Итак, искомая функция распределения имеет вид:

2150. 

2152. 3.3.4. Непрерывная случайная величина.

2153. Плотность распределения.

2154. Вероятность попадания случайной величины

2155. в заданный интервал

2157. Определение. Непрерывной случайной величиной Х, заданной на некотором интервале или , называется такая случайная величина, которая может принимать в результате серии испытаний любое значение из интервала или .

2158. Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется предел отношения вероятности попадания значения непрерывной случайной величины в интервал кприесли такой предел существует:

2159. 

2161. Свойства плотности распределения:

2162. 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

2163. 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

2164. 

2165. В частности, если все возможные значения непрерывной случайной величины находятся в интервале, то

2166. Определение. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величиныравна несобственному интегралу от плотности распределенияс переменным верхним пределом:

2167. (3.29)

2168. Исходя из выше изложенного, плотность вероятности можно определить как первую производную от функции распределения:

2169. (3.30)

2170. Теорема. Пусть − плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величиныТогда вероятность попадания значения случайной величины в интервалравна определенному интегралу от функциив пределах отдо

2171. (3.31)

2172. Пример 3.47. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

2173. 

2174. Найти плотность распределения

2175. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

2176. 

2177. Заметим, что при производнаяне существует.

2178. Пример 3.48. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины

2179. 

2181. Найти функцию распределения

2182. Используем формулу

2183. Если тоследовательно,

2184. Если то

2185. Если то

2186. Таким образом, функция распределенияимеет вид:

2187. 

2188. Пример 3.49. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

2189. 

2190. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из интервала.

2191. Воспользуемся формулой (3.30):

2192. 

2194. 3.3.5. Числовые характеристики

2195. Непрерывных случайных величин

2197. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси 0х, определяется равенством:

2198. (3.32)

2199. Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси 0х, определяется равенством:

2200. (3.33)

2201. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины, как и для дискретной случайной величины, определяется равенством:

2202. (3.34)

2203. Пример 3.50. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

2204. 

2205. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2206. Найдем математическое ожидание по формуле (3.31):

2207. 

2208. т. к. подынтегральная функция начетная, а пределы интегрирования симметричны относительно начала координат.

2209. Дисперсию найдем по формуле (3.32):

2210. 

2211. И, наконец, среднее квадратическое отклонение равно:

2212. 

2214. 3.3.6. Равномерное распределение

2216. Определение. Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины если на интервале, которому принадлежат все возможные значенияплотность сохраняет постоянное значение и задается следующим образом:

2217. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной равномерно, соответственно равны:

2218. 

2219. Пример 3.51. Цена деления шкалы амперметра 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при округлении ошибка будет превышать 0,02 А.

2220. Ошибку округления показаний прибора можно рассматривать как случайную величину распределенную равномерно в интервале между целыми делениями.

2221. Поскольку интервал равен цене деления амперметра, т. е. 0,1. При этом ошибка округления будет удовлетворять условию, если будет принадлежать интервалу. Тогда плотность распределения имеет вид:

2222. 

2228. По формуле (3.30) найдем соответствующую вероятность:

2229. 

2230. 3.3.7. Нормальное распределение

2232. Определение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид:

2233. где − математическое ожидание;

2234. −среднее квадратическое отклонение.

2235. Вероятность попадания значения случайной величины в интервалравна:

2236. , (3.35)

2237. где − функция Лапласа, значения которой представлены вприложении 2.

2238. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа равна:

2239. (3.36)

2240. В частности, при справедливо равенство:

2241. (3.37)

2242. Пример 3.52. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что случайная величинапримет значение, заключенное в интервале.

2243. Воспользуемся формулой (3.30), учитывая, что получим:

2244. 

2245. Значения инайдены из таблицыприложения 2.

2246. Пример 3.53. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонениеммм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине мм.

2247. Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому, используя формулу (3.36), получим:

2248. 

2250. 3.3.8. Показательное распределение

2252. Определение. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины плотность которого имеет вид:

2253. где − постоянная положительная величина.

2254. Функция распределения показательного закона:

2255. 

2258. Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величиныХ, распределенной по показательному закону, вычисляют по формуле:

2259. (3.38)

2260. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного закона распределения соответственно равны:

2261. (3.39)

2262. Пример 3.54. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с плотностью, равной:

2263. 

2266. Найти вероятность того, что в результате испытаний значение непрерывной случайной величины попадет в интервал

2267. По формуле (3.37) найдем:

2268. 

2270. Контрольные вопросы

2272. 1. Сформулировать определение понятия дискретной случайной величины.

2273. 2. Что представляет собой закон распределения дискретной случайной величины?

2274. 3. Как вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины?

2275. 4. Сформулировать определение понятия непрерывной случайной величины.

2276. 5. Сформулировать определение понятий плотности распределения вероятности и функции распределения непрерывной случайной величины.

2277. 6. Как вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины?

2278. 7. Как вычисляется вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал?

2280. 3.4. Элементы математической статистики

2282. В результате экономических, социологических, политологических и других исследований получают большие массивы статистических данных. Например, изучают распределение студентов первого курса г. Омска по росту (весу, состоянию здоровья, успеваемости и т. д.). Практически любой признак поддается непосредственному измерению либо может получить условную числовую характеристику. При этом некоторый признак элементов совокупности можно рассматривать как случайную величину, принимающую те или иные числовые значения с определенной вероятностью. В реальных исследованиях вероятность случайной величины оценивается с помощью ее относительной частоты при достаточно большом числе испытаний.

2284. Основные задачи математической статистики

2285. 1. Определение методов сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате экспериментов или наблюдений.

2286. 2. Разработка методов анализа статистических данных: оценка неизвестной вероятности, оценка зависимости случайной величины от других случайных величин и др.

2288. 3.4.1. Основные понятия математической статистики

2290. Определение. Генеральной совокупностью называется совокупность всех элементов, обладающих интересующими исследователей признаками.

2291. Определение. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных элементов из генеральной совокупности.

2292. Определение. Объемом совокупности называется количество элементов, содержащихся в этой совокупности. Например, если из 2000 изделий отобрано для обследования случайным образом 100 изделий, то объем генеральной совокупности N = 2000, а объем выборки n = 100.

2293. Определение. Выборка называется репрезентативной (представительной), если по ее данным можно достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема n, в которой значение x₁ некоторого исследуемого признака X (размер одежды, заработная плата и пр.) наблюдалось n₁ раз, значение x₂ − n₂ раз, … , значение x_k − n_k раз.

2294. Определение. Значения x_i (i = 1, 2, 3, …, k) исследуемого признака X называются вариантами, а их последовательность, записанная в возрастающем порядке, − вариационным рядом.

2295. Определение. Число n_i, показывающее сколько раз наблюдалось значение x_i некоторого признака X в исследуемой совокупности, называется частотой.

2296. Определение. Отношение частоты значения x_i некоторого признака X в исследуемой совокупности к объему выборки n называется относительной частотой:

2297. . (3.40)

2298. Необходимо отметить, что всегда выполняются равенства:

2299. (3.41)

2300. (3.42)

2301. Определение. Размах выборки (обозначается − разность между максимальным и минимальным значениями случайной величины, полученными при исследовании выборки или длина интервала, которому принадлежат все значения варианты выборки:

2302. .

2303. Определение. Мода (обозначается – наиболее часто встречающееся значение случайной величины (исследуемого признака), полученное при исследовании выборки.

2304. Определение. Ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (х_i; n_i), где х_i – числовые значения исследуемого признака, а n_i – частота их появления в выборке, называется полигоном частот.

2305. Наряду с полигоном частот можно построить полигон относительных частот, для этого по оси ординат необходимо откладывать относительные частоты .

2306. Определение. Гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению (плотность частоты).

2307. Площадь частичного i-го прямоугольника равна сумме частот, попавших в i-й интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки n.

2308. Определение. Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

2309. Площадь частичного i-го прямоугольника равна относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна единице.

2310. Пример 3.55. Пусть исследуемый признак X – размер обуви мальчиков 9-х классов одной из школ имеет следующее распределение по частотам, представленное в виде таблицы 3.11.

2311. Таблица 3.11

2312. Распределение случайной величины по частотам

      хi – размер обуви	38	39	40	41	42	43	44	45
      ni − частота (количество учеников, имеющих определенный размер обуви)	2	2	5	7	6	4	3	1
      −относительная частота

2314. 

2315. 

2316. Размах и мода соответственно равны: и

2318. 3.4.2. Точечные оценки параметров распределения

2320. Определение. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функциюот наблюдаемых случайных величин

2321. Определение. Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом , где− результатынаблюдений над количественным признаком(выборка).

2322. Определение. Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

2323. Определение. Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

2324. Несмещенной оценкой математического ожидания (генеральной средней) служит выборочная средняя:

2325. (3.43)

2326. где − варианта выборки;

2327. −частота варианты

2328. −объем выборки.

2329. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия:

2330. (3.44)

2331. Более удобна для вычислений формула:

2332. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

2333. (3.45)

2334. Пример 3.56. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.

2335. а) найдем выборочную среднюю по формуле (3.38):

2336. 

2337. б) найдем выборочную дисперсию по формуле (3.39):

2338. 

2339. Найдем исправленную дисперсию по формуле (3.40):

2340. 

2342. 3.4.3. Интервальные оценки параметров распределения

2344. Определение. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами − концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

2345. Определение. Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный интервал.

2346. Интервальные оценки параметров нормального распределения:

2347. 1. Интервальной оценкой (с надежностью математического ожидания нормально распределенного количественного признака по выборочной средней служит доверительный интервал:

2348. а) при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности

2349. (3.46)

2350. где − точность оценки;

2351. −объем выборки;

2352. −значение аргумента функции Лапласа при котором

2353. б) при неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности

2354. (3.47)

2355. где − «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение;

2356. −находятся по таблице приложения 2 по заданным и

2357. 2. Интервальной оценкой (с надежностью среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признакапо «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонениюслужит доверительный интервал:

2358. (3.48)

2359. 

2360. где находятся по таблицеприложения 4 по заданным и

2361. Пример 3.57. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака надежностью 0,95, если генеральное среднее квадратическое отклонениевыборочное среднееа объем выборки

2362. Доверительный интервал найдем по формуле (3.43). Все величины известны, кроме Значениенайдем из соотношенияи затем находимпо таблицеприложения 4. Подставив все известные значения в формулу, получим искомый доверительный интервал 12,04 15,96.

2363. Пример 3.58. По данным выборки объема из генеральной совокупности найдено «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонениеS=1 нормально распределенного количественного признака X. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95.

2364. По данным задачи ив таблицеприложения 4 найдем Посколькуто используя формулу (3.43) найдем искомый интервал

2366. 3.4.4. Проверка статистических гипотез

2368. Определение. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

2369. Определение. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу

2370. Определение. Статистическим критерием называют случайную величину которая служит для проверки гипотезы.

2371. Определение. Наблюдаемым (эмпирическим) значение называют то значение критерия, которое вычислено по выборкам.

2372. Определение. Областью принятия гипотезы (область допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых принимают нулевую гипотезу.

2373. Определение. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

2374. Основной принцип проверки гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нулевую гипотезу принимают.

2376. Проверка гипотезы о нормальном распределении

2377. Генеральной совокупности по критерию Пирсона

2378. Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот (табл. 3.12):

2379. Таблица 3.12

2380. Закон распределения дискретной случайной величины

      			…
      			…

2382. Алгоритм применения критерия Пирсона

2383. 1. Выдвигают нулевую гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины X и находят его параметры и по формулам (3.38) и (3.33) соответственно.

2384. 2. Определяют теоретические частоты соответствующие опытным частотам Если среди опытных частот имеются малочисленные, то их необходимо объединить с соседними. Интервалы после объединения будем обозначать (]. Число интервалов должно быть не менее 4-х. Если случайная величинаX непрерывна, то

2387. 

2388. где − объем выборки (сумма всех частот);

2389. −шаг (разность между двумя соседними вариантами);

2390. вычисляют следующим образом:

2391. (3.49)

2392. Значения находят из таблицыприложения 1.

2393. 3. Вычисляют наблюдаемое значение критерия:

2394. (3.50)

2395. 4. Находят по таблице критических точек распределения по заданному уровню значимостии числу степеней свободы−число групп выборки) находят критическую точку правосторонней критической области.

2396. 5. Если то гипотезу о нормальном распределении выборки принимают; если то гипотезу о нормальном распределении выборки отвергают.

2397. Пример 3.59. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки (табл. 3.13) объема

2399. Таблица 3.13

2400. Закон распределения дискретной случайной величины

      	5	7	9	11	13	15	17	19	21
      	15	26	25	30	26	21	24	20	13

2402. Используя формулы (3.38) и (3.33), найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение

2403. Вычислим теоретические частоты, учитывая, что по формуле (3.41):

2404. 

2405. Составим расчетную таблицу 3.14.

2410. Таблица 3.14

2411. Расчетная таблица

      1	5	−1,62	0,1074	9,1	15	34,81	3,8
      2	7	−1,20	0,1942	16,5	26	90,25	5,5
      3	9	−0,77	0,2966	25,3	25	0,09	0,0
      4	11	−0,35	0,3752	32	30	4,00	0,1
      5	13	0,08	0,3977	33,9	26	62,41	1,8
      6	15	0,51	0,3503	29,8	21	77,44	2,6
      7	17	0,93	0,2589	22	24	4,00	0,2
      8	19	1,36	0,1582	13,5	20	42,25	3,1
      9	21	1,78	0,0818	7	13	36,00	5,1
      ∑	200

2413. По таблице критических точек распределения (приложение 5) по уровню значимости и числу степеней свободынаходим критическую точку правосторонней критической области:

2414. 

2415. Поскольку − гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем, т. е. эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

2417. Контрольные вопросы

1. Каковы основные задачи математической статистики?

2. Сформулировать определение понятия генеральной совокупности.

3. Сформулировать определение понятия выборочной совокупности.

4. Что называется объемом совокупности?

5. Какая выборка называется репрезентативной?

6. Что называется вариационным рядом?

7. Что называется частотой, относительной частотой варианты?

8. Что называется размахом выборки?

9. Что называется модой выборки?

10. Что называется размахом, модой выборки?

11. Что представляет собой диаграмма частот, относительных частот?

12. Сформулировать определение понятия статистической гипотезы.

13. Сформулировать определение понятия статистического критерия.

14. Какие оценки параметров распределения называются точечными?

15. Как вычислить несмещенную оценку математического ожидания?

16. Как вычислить смещенную оценку математического ожидания?

17. Как вычислить несмещенную оценку дисперсии?

18. Как вычислить смещенную оценку дисперсии?

19. Какие оценки параметров распределения называются интервальными?

20. Какое распределение называется нормальным?