1. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола

242. 1.50. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке С и данным радиусом r: 1) С (4; –7), r = 5; 2) С (–6; 3), r = 3) С (3; –2), r = 3.

243. 1.51. Окружность с центром в точке S (12; –5) проходит через начало координат. Составить уравнение этой окружности.

244. 1.52. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок прямой 12х + 5у + 60 = 0, заключенный между осями координат.

245. 1.53. Известно, что концы одного из диаметров окружности находятся в точках (2; –7) и(–4; 3). Составить уравнение окружности.

246. 1.54. Составить уравнение прямой, проходящей через центры окружностей х + у = 5 и х + у + 2х + 4у = 31. Найти отношение их радиусов..

247. 1.55. Найти уравнение диаметра окружности х+ у– 6х + 14у – 6 = 0, перпендикулярного хорде х – 2у = 2.

248. 1.56. Найти полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса: 1) 9х + 25 у – 225 = 0; 2) 16х + 25у = 400.

249. 1.57. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот следующих гипербол:

250. 1) 4х – 5 у – 100 = 0; 2) 9х – 4 у – 144 = 0;

251. 3) 16х – 9 y + 144 = 0; 4) 9х – 7 у + 252 = 0.

252. 1.58. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса += 1.

253. 1.59. Составить уравнение параболы, проходящей через точки:

254. 1) (0; 0) и (–1; –3) симметрично относительно оси ОХ;

255. 2) (0; 0) и (2; –4) симметрично относительно оси ОУ.

256. 1.60. Директрисой параболы, вершина которой находится в начале координат, является прямая 2х – 3 = 0. Составить уравнение параболы и найти ее фокус.

257. 1.61. Найти уравнение параболы и ее директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси ОХ, точка пересечения прямых у = х и х + у – 2 = 0 лежит на параболе и вершина параболы находится в точке с абсциссой, равной 0,5.

258. 1.62. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через центр гиперболы у = , и вершину параболыу = – 2х + 5х – 2.

259. 1.63. Вершина параболы лежит в конце одного из диаметров окружности х + у = 9. Составить уравнение параболы, если общая хорда параболы и окружности лежит на прямой у – 2 = 0.

260. 1.64. Составить уравнение прямой, проходящей через центр окружности х² + у² + 4х + 12у +15 = 0 параллельно прямой х + у = 0.

261. 1.65. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат и проходящей через точку А(– 2; –3). Найти фокус и директрису параболы.

1. Прямая и плоскость в пространстве

264. Общее уравнение плоскости в пространстве: Ax + By + Cz + D = 0 .

265. A (x–х₀) + B (y–y₀) + C (z–z₀) = 0 – уравнение плоскости, проходящей через данную точку, где (А, В, С) – вектор, перпендикулярный плоскости – нормаль.

266. Каноническое уравнение прямой в пространстве:

267. ,

268. _где (m, n, p) – направляющий вектор прямой.

269. Взаимное расположение прямых и плоскостей определяется из условий параллельности и перпендикулярности нормали и направляющего вектора.

270. Пример 1.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; –2; 3) и перпендикулярной вектору = (3; –4; 5).

271. Решение.

272. _{Нормаль – это вектор, перпендикулярный плоскости} (см. рис.1.4). В качестве можно взять_.

273. 

275. 

276. Рис. 1.4. Перпендикулярность плоскости вектору

278. Тогда уравнение плоскости, перпендикулярной вектору =(3; –4; 5) и проходящей через точкуМ(1; –2; 3) имеет вид:

279. 3(х – 1) – 4(y+2) + 5(z – 3) = 0 или 3х – 4y + 5z – 26 = 0.

280. Пример 1.12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (3; –2; 4), перпендикулярно плоскости 5х +3у –7z +1 = 0.

281. Прямая перпендикулярна плоскости (рис. 1.5), значит, в качестве её направляющего вектора можно взять нормаль плоскости, т. к. они коллинеарны. _. И известна точка, через которую проходит прямая. Используем каноническое уравнение, получаем:

282. 

283. . М =

284. Рис. 1.5. Перпендикулярность прямой и плоскости

286. 1.66. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору, если:

287. 1) (2; –3; 1),= (5; 1; –4); 2)(1; 0; 1),= (1; –2; 3).

288. 1.67. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ и точку , если: 1)(2; –4; 3); 2)(–1; 2; –4).

289. 1.68. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; –2; 3): а) перпендикулярной вектору = (3; –4; 5); б) параллельной плоскости 3х – 4у + 5z + 6 = 0; в) точку М₁(0; 2; 5) и параллельной оси Оу; г) проходящей через ось Оz.

290. 1.69. Найти проекцию В точки А(5; 2; –1): а) на плоскость 2х – у + 3z + 23 = 0; б) на прямую _.

291. а) Решение.

292. _{Найдем уравнение прямой, проходящей через точку} А (5; 2; –1) и перпендикулярной плоскости. В качестве направляющего вектора возьмем нормаль к плоскости _{= (2; – 1; 3):}

293. _. Запишем параметрическое уравнение прямой:

294. х = 5 + 2 t;

295. у = 2 – t;

296. z = –1 +3 t.

297. Найдем пересечение прямой и плоскости, для этого подставим полученные выражения в уравнение плоскости, получим:

298. 2(5 + 2t) – (2 – t) + 3(–1 + 3t) + 23 = 0, откуда t = –2, т. е. точка пересечения имеет координаты х_в = 1; у_в = 4; z_в = –7.

299. Ответ: В(1; 4; –7).

300. б) Для того чтобы найти проекцию точки на прямую, надо:

• построить плоскость, проходящую через заданную точку, перпендикулярно прямой;

• найти пересечение этой плоскости с прямой.