- •Математика
- •Глава 1 подготовлена м. Н. Рассказовой, глава 2 – о. П. Диденко, предисловие, введение, глава 3, алфавитно-предметный указатель – с. Х. Мухаметдиновой.
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Линейная алгебра
- •Операции над матрицами
- •Свойства операций над матрицами:
- •Определители матриц и их свойства
- •Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •Системы линейных уравнений
- •Построение моделей задач, сводящихся к системам линейных уравнений
- •1.1.6. Применение элементов линейной алгебры в экономике
- •1.1.7. Модель Леонтьева межотраслевого баланса
- •Контрольные задания
- •Векторная алгебра
- •Векторы. Линейные операции над векторами
- •Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов
- •Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения
- •Контрольные задания
- •Аналитическая геометрия
- •Прямая на плоскости
- •Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •Контрольные задания
- •Глава 2. Математический анализ
- •2.1. Функции одной переменной
- •Контрольные задания
- •2.2. Предел и непрерывность функции
- •Некоторые свойства пределов
- •2.2.1. Замечательные пределы
- •2.2.2. Непрерывность функции в точке
- •Контрольные задания
- •2.3.2. Применение производной в экономике
- •2.3.3. Дифференциал функции
- •Контрольные задания
- •2.4. Приложения производной
- •2.4.1. Исследование функции на монотонность,
- •Экстремумы и выпуклость.
- •Асимптоты графика функции
- •2.4.2. Общая схема исследования функции
- •И построения ее графика
- •Контрольные задания
- •2.5.2. Метод интегрирования по частям
- •2.6.2. Геометрические приложения
- •Определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла
- •В экономике
- •Несобственные интегралы
- •Функции нескольких переменных
- •2.7.1. Частные производные, дифференциал,
- •Градиент функции
- •2.7.2. Частные производные 2-го порядка.
- •Исследование функции на экстремум
- •2.7.3. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные задания
- •2.8. Дифференциальные уравнения
- •1. Уравнение с разделяющимися переменными
- •2. Однородные уравнения 1-го порядка
- •3. Линейные уравнения 1-го порядка
- •4. Линейные однородные уравнения 2-го порядка
- •С постоянными коэффициентами
- •2.9. Последовательности и ряды
- •2.9.1. Предел последовательности
- •2.9.2. Числовые ряды
- •Достаточный признак расходимости ряда
- •Признаки сходимости рядов с положительными членами:
- •2.9.3. Степенные ряды
- •Контрольные задания
- •3.1.3. Размещения
- •Сочетания
- •Если в формуле (3.5) заменить число k на n − k, то получим:
- •Правило сложения
- •Правило произведения
- •Контрольные вопросы
- •Элементы теории вероятностей
- •3.2.1. Основные понятия теории вероятностей
- •3.2.2. Классификация событий
- •3.2.3. Алгебра событий
- •3.2.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •3.2.5. Классический подход к понятию вероятности
- •3.2.6. Решение вероятностных задач
- •С помощью комбинаторики
- •3.2.7. Геометрический подход к понятию вероятности
- •3.2.8. Аксиоматическое определение
- •Понятия вероятности
- •3.2.9. Вероятность суммы несовместных событий
- •3.2.10. Вероятность произведения событий
- •3.2.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.2.12. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число
- •Наступлений события
- •3.2.13. Локальная формула Муавра−Лапласа
- •3.2.14. Интегральная формула Муавра−Лапласа
- •3.2.15. Формула Пуассона
- •Контрольные вопросы
- •3.3. Случайные величины
- •3.3.1. Дискретные случайные величины.
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •3.3.2. Числовые характеристики
- •Дискретных случайных величин
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •3.3.3. Функция распределения вероятностей
- •Случайной величины
- •Основные свойства функции распределения:
- •3.3.4. Непрерывная случайная величина.
- •3.3.5. Числовые характеристики
- •Непрерывных случайных величин
- •3.3.6. Равномерное распределение
- •3.3.7. Нормальное распределение
- •3.3.8. Показательное распределение
- •Контрольные вопросы
- •3.4. Элементы математической статистики
- •Основные задачи математической статистики
- •3.4.1. Основные понятия математической статистики
- •3.4.2. Точечные оценки параметров распределения
- •3.4.3. Интервальные оценки параметров распределения
- •Интервальные оценки параметров нормального распределения:
- •3.4.4. Проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о нормальном распределении
- •Генеральной совокупности по критерию Пирсона
- •Алгоритм применения критерия Пирсона
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Основная литература
- •Дополнительная литература
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Приложение 4
- •Приложение 5
- •Приложение 6
- •Глава 2 «Математический анализ»
- •Глава 3 «Теория вероятностей и математическая статистика»
- •3.1. Классическое определение вероятности
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Формулы полной вероятности и Байеса
- •3.4. Схема Бернулли. Теорема Муавра-Лапласа, Пуассона
- •3.5. Случайные величины
- •3.6. Законы распределения
- •3.7. Математическая статистика
- •Алфавитно-предметный указатель
- •Математика
- •644099, Омск, ул. Красногвардейская, 9
1.1.7. Модель Леонтьева межотраслевого баланса
Постановка задачи. Пусть имеется n отраслей промышленности, каждая из которых производит продукцию, которая идет как для внутреннего потребления данной отраслью и другими отраслями, так и для конечного личного или общественного потребления. Обозначим хi – общий (валовый) объем продукции i-отрасли, хij – объем продукции i-отрасли, потребляемой j-отраслью, yi – объем конечного продукта i-отрасли. Имеем соотношение баланса:
Введем коэффициенты прямых затрат . Если считать, что эти коэффициенты постоянны в течение некоторого периода времени, тоxij = aij xj , и соотношение баланса примет вид:
или в матричном виде Х = А٠Х + У.
Задача состоит в нахождении такого вектора Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает конечный продукт У.
Решая полученное матричное уравнение, находим Х = (Е–А)–1 У.
Матрица (Е – А)–1 называется матрицей полных затрат.
Чтобы матричное уравнение было разрешимо, необходимо, чтобы матрица А была продуктивной. Есть несколько критериев продуктивности матрицы. Например, если максимум сумм элементов столбцов не более 1 и хоть одна сумма строго меньше 1, то матрица продуктивна.
Пример 1.9. Решение задачи поиска межотраслевого баланса [3, c. 99 – 104].
Имеется две отрасли производства, в таблице 1.9 указаны объёмы производства и потребления.
Таблица 1.9
Производство |
Потребление |
Конечный продукт |
Валовый продукт | |||
Энергетика |
Машиностроение | |||||
Энергетика |
100 |
160 |
240 |
500 | ||
Машиностроение |
275 |
40 |
85 |
400 |
Необходимо вычислить объем валового выпуска продукции каждой отрасли, если конечный продукт 1-й отрасли должен увеличиться в 2 раза, 2-й на 20 %.
Из таблицы 1.9 имеем:
х1 = 500, х2 = 400, у1 = 240, у2 = 85, х11 = 100, х21 = 275, х12 =160, х22 = 40.
Построим матрицу прямых затрат:
а11 = == 0,2; а12 = == 0,4;
а21 = == 0,55; а22 = == 0,1.
А = , Е– А = – =.
Проверим матрицу А на продуктивность:
0,2 + 0,55 = 0,75 < 1, 0,4 + 0,1 = 0,5 < 1, т. е. матрица А продуктивна.
Найдем обратную к ней. Вычислим определитель:
0,8٠0,9 – 0,55٠ 0,4 = 0,5.
Тогда,
Вычислим по данным условия задачи новый вектор конечного продукта У = (У1, У2):
У1 = 240٠2 = 480, У2 = 85 ٠(1+ 0,2) = 102. Имеем Унов =
Тогда Х = =.
1.15. В таблице 1.10 приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.
Таблица 1.10
Отрасль |
Потребление |
Конечный продукт |
Валовый продукт | ||
Сфера обслуживания |
Лёгкая промышленность | ||||
Произ-водство |
Сфера обслуживания |
7 |
21 |
72 |
100 |
Лёгкая пром-ть |
12 |
15 |
63 |
100 |
Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление сферы обслуживания увеличится вдвое, а лёгкой промышленности сохранится на прежнем уровне.
1.16. Продуктивна ли матрица А:
1) 2).
1.17. Экономика разделена на три отрасли. В таблице 1.11 заданы коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей.
Таблица 1.11
Отрасль |
Потребление |
Конечный продукт | ||||||||
Сфера обслуживания |
Лёгкая промышленность |
Сельское хозяйство | ||||||||
Произ-водство |
Сфера обслуживания |
0,3 |
0,25 |
0,2 |
56 | |||||
Лёгкая промышленность |
0,15 |
0,12 |
0,03 |
20 | ||||||
Сельское хозяйство |
0,1 |
0,05 |
0,08 |
12 |
Найти объем валовой продукции каждой отрасли, межотраслевые поставки, чистую продукцию отраслей.
1.18. Дана матрица полных затрат
Найти приращение валового выпуска ∆Х, обеспечивающее приращение конечной продукции ∆У = (10, 30, 20).
1.19. Отрасль состоит из 4-х предприятий; вектор выпуска продукции и матрица внутреннего потребления имеют вид:
Х = А =
Пользуясь моделью Леонтьева, найти вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.
1.20. Данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый промежуток времени даны в таблице 1.12. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление увеличить соответственно:
1) до 60, 70 и 30 единиц;
2) на 30, 10 и 50 %.
Решить задачу методом обратной матрицы.
Таблица 1.12
№ п/п |
Отрасль |
Потребление отрасли |
Конечный продукт |
Валовый выпуск
| ||||
1 |
2 |
3 | ||||||
1 |
Добыча и переработка углеводородов |
5 |
35 |
20 |
40 |
100 | ||
2 |
Энергетика |
10 |
10 |
20 |
60 |
100 | ||
3 |
Машиностроение |
20 |
10 |
10 |
10 |
50 |