- •Паскевич Тетяна Іванівна магістерська робота електронний посібник для поглибленого вивчення математики учнями математичних ліцеїв та шкіл
- •1. 1. Поняття про електронний підручник
- •1. 2. Основні вимоги до електронного підручника
- •1. 3. Структуризація та оформлення електронного підручника
- •1. 3. 1. Особливості мови html
- •1. 3. 2. Редагування тексту
- •3Адання заголовків
- •1. 3. 3. Створення гіперпосилань і графіки на Web-cторінках
- •1. 3. 4. Робота з таблицями
- •1. 4. Програма Advanced Grapher.
- •1. 5. Етапи створення посібника
- •2. 1. Границя послідовності
- •2. 1. 1. Деякі позначення і термінологія
- •2. 1. 2. Числові послідовності та їх класифікація
- •2. 1. 3. Нескінченно малі послідовності та їх властивості
- •2. 1. 4. Границя послідовності
- •2. 1. 5. Граничний перехід в нерівностях
- •2. 1. 6. Нескінченно великі послідовності
- •2. 2. Теорія дійсних чисел
- •2. 2. 1. Теорія дійсних чисел
- •Порівняння дійсних чисел
- •Властивість транзитивності
- •Додавання дійсних чисел
- •Віднімання дійсних чисел.
- •Множення дійсних чисел
- •Частка двох дійсних чисел
- •Інші властивості дійсних чисел
- •2. 2. 2. Точні грані множини
- •2. 2. 3. Поняття підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Поняття часткової границі. Верхні і нижні границі, проблема їх існування
- •2. 2. 4. Критерій Коші збіжності послідовності
- •2. 3. Границя і неперервність функції
- •2. 3. 1. Гранична точка множини. Означення границі функції
- •2. 3. 2. Границя функції на нескінченності (випадок, коли )
- •2. 3. 3. Односторонні границі функції в точці
- •Перша цікава границя.
- •2. 3. 4. Означення неперервності функції в точці. Точки розриву функції та їх класифікація
- •2. 3. 5. Арифметичні операції над неперервними функціями
- •Одностороння неперервність функції в точці
- •2. 3. 6. Властивості неперервних функцій
- •Локальна властивість
- •2. Глобальні властивості
- •2. 3. 7. Обернена функція
- •2. 4. Показникова та логарифмічна функції і їх властивості
- •2. 4. 1. Степінь з раціональним показником. Показникова функція та її властивості
- •2. 4. 2. Логарифмічна функція
- •2. 4. 3. Загальностепенева функція і її властивості
- •2. 4. 4. Друга та інші цікаві границі
- •2. 4. 5. Гіперболічні функції та їх графіки
- •3. 1. Похідна та її обчислення
- •3. 1. 1. Поняття дотичної до кривої. Кутовий коефіцієнт дотичної
- •3. 1. 2. Диференційованість функції в точці. Зв’язок її з неперервністю і існуванням похідної
- •3. 1. 3. Правила диференціювання
- •3. 1. 4. Диференціал функції та його застосування
- •3. 1. 5. Похідні і диференціали вищих порядків
- •3. 1. 6. Параметрично задані функції і обчислення їх похідних
- •3. 1. 7. Теореми про середнє. І, іі правила Лопіталя. Критерій строгої монотонності функції
- •3. 2. Дослідження функції та побудова її графіку
- •3. 2. 1. Дослідження функції на екстремум
- •3. 2. 2. Дослідження функції диференційованої на відрізку на найбільше та найменше її значення на цьому ж відрізку
- •3. 2. 3. Опуклість і вгнутість графіка функції. Теорема про достатні умови опуклості, вгнутості функції на проміжку
- •3. 2. 4. Точки перегину графіка функції та їх відшукання
- •3. 2. 5. Асимптоти графіка функції
- •4. 1. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 1. Первісна. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 2. Заміна змінних у невизначеному інтегралі. Інтегрування за частинами
- •4. 2. Інтегрування різних класів функцій
- •4. 2. 1. Інтегрування раціональних функцій
- •4. 2. 2. Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій
- •4. 2. 3. Інтегрування ірраціональних функцій з квадратним тричленом під квадратним коренем. Підстановки Ейлера
- •4. 2. 4. Підстановки Чебишева
- •4. 2. 5. Інтегрування тригонометричних функцій
- •4. 3. Інтеграл Рімана
- •4. 3. 1. Суми Дарбу. Їх властивості та означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 2. Рівномірно-неперервні функції. Теорема Кантора
- •4. 3. 3. Друге означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 4. Властивості інтеграла Рімана
- •4. 3. 5. Інтеграл із змінною верхньою межею. Його властивості
- •4. 3. 6. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального числення). Інтегрування методом підстановки та за частинами
- •4. 4. Застосування інтеграла Рімана
- •4. 4. 1. Площа криволінійної трапеції
- •4. 4. 2. Площа криволінійного сектора.
- •4. 4. 3. Об’єм тіла обертання
- •4. 4. 4. Довжина дуги кривої
- •4. 4. 5. Площа поверхні обертання
- •4. 4. 6. Координати центра ваги матеріальної дуги та пластинки. Теореми Гульдена
2. 1. 4. Границя послідовності
Розглянемо послідовність . Якщо зобразити її члени на числовій осі, то можна помітити, що члени цієї послідовності із збільшенням номера „все ближче” наближаються до 1, причому так що послідовністьє нескінченно малою. Це означає, що число 1 є границею послідовностіДамо означення цьому поняттю.
Означення 1. Число називаєтьсяграницею послідовності і записуєтьсяякщо послідовність- нескінченно мала.
Вище ми довели, що Подивимось чи 2 не буде границею цієї ж послідовності.- не є нескінченно малою, бо всі її члени більші за 1.
Зауважимо, що послідовність, яка має границю називається збіжною, в протилежному випадку – розбіжною.
Якщо скористатися означенням 1 і означенням 1 з 1.1.3, то матимемо наступне.
Означення 2. Число є границеюякщо
або
абоабо
Таким чином, ми зараз можемо дати ще одне означення границі послідовності.
Означення 3. Число є границею послідовностіякщо
З цього означення зразу випливає: кожна нескінченно мала послідовність збіжна і її границя дорівнює 0.
Якщо об’єднати означення 1 і 1’ з попереднього параграфа, то одержимо ще одне
Означення 4.
,якщо
Вивчимо деякі властивості збіжних послідовностей. Те що число 2 не є границею послідовності яка збіжна до числа 1, наводить на думку, що вірною буде наступна
Теорема 1 (про єдність границі). Кожна збіжна послідовність має тільки одну границю.
Доведення. Доведемо цю теорему методом від супротивного. Припустимо, що збіжна послідовність має дві границііТоді з означення 1 матимемо- нескінченно малі послідовності.
Тоді абоіАле ж- нескінченно мала послідовність всі члени якої співпадають з одним і тим самим числомщо можливо лише при умові колиТеорема доведена.
З’ясуємо співвідношення між обмеженістю і збіжністю послідовності.
Теорема 2 (про обмеженість збіжної послідовності). Якщо послідовність - збіжна, то вона обмежена.
Доведення. Нехай Тоді за означенням 2 матимемо, що для
Позначимо черезТоді зрозуміло, щоотже послідовністьобмежена. Теорема доведена.
Чи вірне обернене твердження?
Для відповіді на це запитання розглянемо послідовність: Очевидно ця послідовність обмежена. З’ясуємо чи вона збіжна. Припустимо, що вона збіжна і– її границя. Тоді, згідно з означення 1і- нескінченно малі послідовності, а значить їх різниця теж нескінченно мала:Але
Остання послідовність не є нескінченно малою, бо вне ввійде жоден член цієї послідовності ( а повинні входити всі починаючи з деякого номера!). Тому розглядувана послідовністьрозбіжна, хоча й обмежена. Отже обернене твердження невірне.
З’ясуємо далі чи послідовності, що є результатами арифметичних дій над збіжними послідовностями залишаються в множині збіжних послідовностей.
Теорема 3. Нехай і- збіжні до чиселіпослідовності. Тоді збіжними будуть послідовності:
1.
2.
3. (при умові, що);
відповідно до границь
Доведення. 2. З того, що імаємо за означенням 1,
є нескінченно малими. Розглянемо послідовність і доведемо, що ця послідовність є нескінченно малою. Це означатиме, щоє збіжною іє її границею. Оскількито матимемо,
- нескінченно мала, як добуток двох нескінченно малих послідовностей;
- нескінченно малі, як добуток обмеженої на нескінченно малу.
Отже, - нескінченно мала послідовність, як сума трьох нескінченно малих послідовностей і теорему 3 у випадку 2 доведено.
Для доведення частини 3 теореми 3 нам потрібна буде
Лема. Якщо тоякщо її розглядати починаючи з деякого номера є обмеженою.
Доведення. З того, що матимемо за означенням 2, для
Звідси маємо, що
(1)
(2)
З нерівностей (1), (2) маємо:
1)
2) приабопри
А останні дві нерівності і означають, що послідовність (якщо її розглядати починаючи з номера) є обмеженою. Лема доведена.
Доведемо тепер твердження 3 теореми 3.
По-перше розглядатимемо з того номеращоб всібули відмінні від нуля. Розглянемо далі послідовністьдеяка є нескінченно малою, бо
- обмежена, як стаціонарна,
- обмежена за лемою;
- нескінченно малі, а , отже - теж нескінченно мала.
Оскільки - є нескінченно малою, то згідно означення 1, послідовність- збіжна і має своєю границею числоТеорема доведена.
Коротко попередню теорему можна переписати так:
Наприклад. бо- нескінченно малі послідовності.