Перша цікава границя.

Тут ми з’ясуємо, як веде себе функція при Тобто обчислимо Нарисуємо одиничне коло. Нехай Відкладемо кут в радіан: кут ВОА. З точки А опустимо перпендикуляр на вісь ОХ – точка С. накреслимо ще одне коло радіуса Розглянемо далі сектори COD і AOB та ∆ AOB. З малюнка видно, що Звідси врахувавши, що будемо мати або (1)

Далі поділивши на отримаємо, або і

Отже, (2)

Розглянемо далі тобто Звідси на основі (2) будемо мати, (3) і, розкривши модуль, для а для або Таким чином, ми бачимо, що незалежно від того чи чи нерівність (3) займає вигляд, (4), причому ця нерівність справедлива Звідси за теоремою „про два міліціонери” (застосованої ) одержимо, що (5). З цієї рівності і з тотожності одержуємо (за теоремою про границю різниці), що: Це і є І цікава границя.

Наприклад. Обчислити Маємо,

Розглянемо чому дорівнює

Звідси і з І цікавої границі за теоремою „Про два міліціонери” маємо, що З цієї рівності і з тотожності виходить, що Оскільки то з доведеної рівності маємо:

Аналогічно доводимо, що

2. 3. 4. Означення неперервності функції в точці. Точки розриву функції та їх класифікація

x

Нехай функція задана на деякому проміжку і точка з цього проміжку.

Означення 1. Якщо і то функція називається неперервною в точці

Із графіка функції видно, що із виділених точок лише одна задовольняє тільки-що приведеному означенню, а саме точка Якщо в якійсь точці з цього проміжку функція не є неперервною, то ця точка називається точкою розриву даної функції. Очевидно, що точки із нашого малюнка є точками розриву, але вони суттєво відрізняються одна від одної. Тому проведемо наступну класифікацію точок розриву.

1. Точка з області визначення функції називається точкою усувного розриву, якщо в цій точці проте .

2. Точка з області визначення функції називається точкою розриву І роду, якщо в цій точці не існує границя функції, проте існують скінченні односторонні границі (без сумніву не рівні між собою).

3. Точка з області визначення функції називається точкою розриву ІІ роду, якщо в цій точці також не існує границя функції, проте при цьому не існує хоча б одна з її односторонніх границь.

Даючи вище означення точці розриву ми вважали, що ця точка зобов’язана належати області визначення функції. Проте домовимось до точок розриву функції відносити ці точки, які не належать до області визначення, але є граничними для неї.

Повернемось знову до неперервності функції в точці. Оскільки тут - гранична точка області визначення, то запишемо останню рівність скориставшись означеннями Гейне та Коші:

За означенням Гейне

За означенням Коші

Уважно проаналізувавши два останні означення ми помічаємо, що умова 2) в означенні Гейне і умова проколеності околу в означенні Коші є зайвими, тому ми можемо зараз сформулювати наступні два означення неперервності функції в точці з області визначення цієї функції.

Означення 2 (Гейне). Функція називається неперервною в точці якщо

і випливає, що

Означення 3 (Коші). Функція називається неперервною в точці якщо

Аналізуючи останні два означення, робимо висновок, що в них вже не вимагається того, щоб точка була граничною. Значить тут може бути ізольованою. Як випливає з двох означень: будь-яка функція в будь-якій ізольованій точці завжди є неперервною (спробуйте пояснити чому!). Очевидно, що означення Гейне і Коші неперервності функції в точці (будучи еквівалентними між собою) є „сильнішими” за граничне означення неперервності.