4. 3. 6. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального числення). Інтегрування методом підстановки та за частинами

Теорема 1 (Формула Ньютона-Лейбніца).

Нехай первісна до на відрізку . Якщо , то має місце рівність:

Доведення.

Візьмемо –розбиття відрізка , розглянемо суму:

(Оскільки диференційована на всьому відрізку , то вона диференційована і тим більше на кожному з елементарних відрізків, тоді до неї на кожному з відрізків розбиття можна застосувати Теорему Лагранжа, згідно з якою

.)

.

Тобто, ми отримали, що , де – довільне розбиття відрізка , – спеціальний вибір точок (теорема Лагранжа здійснює це вибір). Оскільки функція , то перейшовши в останній рівності до границі, коли , ми отримаємо:

.

(Спеціальний вибір тут зовсім не шкодить, бо інтегрованість дана за умовою).

Теорема доведена.

З теореми одержується:

Наслідок 1.

Якщо , то , де її первісна на .

Досвід пошуку невизначеного інтеграла підказує нам, що там часто ефективними були теореми про заміну змінних і інтегрування за частинами. Цікаво чи «перекинуться» ці теореми на інтеграл Рімана. –Так.

Теорема 2 (заміна змінних в інтегралі Рімана).

Нехай , а – неперервна разом зі своєю похідною на відрізку , причому , і при змінні від до

змінюється від до . Тоді справедливі рівності:

(1)

Доведення.

Візьмемо довільне розбиття відрізка .

Таким чином ми одержали якесь розбиття відрізка .

Розглянемо далі різницю:

(До останнього ми прийшли, використавши теорему Лагранжа для функції ). Позначимо через , . Утворимо далі наступну інтегральну суму , де – це вибір точок .

.

(де – означає якийсь спеціальний, за рахунок теореми Лагранжа, вибір точок на відрізку зміни ). Отже, ми довели таку рівність:

(2)

Оскільки функція неперервна на відрізку , то при . Тоді, перейшовши в (2) до границі, при і врахувавши тільки що сказане, а також інтегрованість функції на і на одержимо потрібну нам рівність (1).

Теорема доведена.

Теорема 3 (Інтегрування за частинами).

Нехай і – неперервні зі своїми похідними на функції. Тоді

Доведення.

Ця рівність легко одержується з рівності і доведеної вище формули Ньютона-Лейбніца.

.

Враховуючи, що є первісною , то можна переписати

Теорема доведена.

4. 4. Застосування інтеграла Рімана

4. 4. 1. Площа криволінійної трапеції

Нехай , монотонно-неспадна. Розглянемо фігуру, обмежену прямими та графік . Її називають криволінійною трапецією . Поставимо завдання обчислити площу цієї трапеції.

Для розв’язання цієї задачі візьмемо будь-яке розбиття відрізка і утворимо нижню та верхню суми Дарбу нашої функції по розбитті. Як ми знаємо, геометрично ці суми являють собою площі многокутників, які відповідно містять цю криволінійну трапецію. Оскільки функція , то вона інтегрована за Ріманом, а значить приведені вище суми Дарбу при прямуватимуть до однієї і тієї ж границі, яка, як ми знаємо з відповідних Лем і інтегрованості функції – буде інтегралом Рімана

Оскільки криволінійна трапеція весь час знаходиться між вказаними вище многокутниками, логічно за площу цієї трапеції прийняти цю границю. (Цим ми означили, що розуміти під площею криволінійної трапеції). Отже, ми встановили, що таке площа криволінійної трапеції і чому вона дорівнює:

Нехай тепер ми маємо криволінійну трапецію, яка обмежена прямими і функціями , які неперервні і для .

Для обчислення площі цієї трапеції поступимо наступним чином. Зробимо паралельне перенесення площі криволінійної трапеції на деякий вектор, паралельний до осі так, щоб найнижча точка графіка функції були або на осі , або вище цієї осі. Тоді площа криволінійної трапеції дорівнюватиме площі вихідної трапеції, причому нова буде обмежена з боків тими самими прямими.

Маємо і , де – якесь стале число, причому для .

Площа криволінійної трапеції буде дорівнювати різниці площ двох трапецій, обидві з яких обмежені прямими і знизу – і графіками функцій і . Тоді будемо мати за попередньою формулою що

Отже, ми одержали, що площа вихідної трапеції, яка обмежена з боків прямими і знизу – і графіками функцій і обчислюється так

Зауважимо, що якщо фігура на площині не підпадає ні під першу ні під другу трапеції, то її розбивають на частинки, кожна з яких буде або типу першої, або типу другої.