2. 2. 4. Критерій Коші збіжності послідовності

Однією з найважливіших проблем в теорії границь є проблема збіжності послідовностей. Теорема Вейєрштрасса дає достатні (але не необхідні) умови збіжності послідовності. Наступна теорема теж розв’язує проблему збіжності чи розбіжності послідовності.

Теорема 1 (Критерій Коші). Для того, щоб послідовність була збіжною необхідно і достатньо, щоб

(Послідовність, яка має властивість описану в цьому критерії називається фундаментальною.)

Доведення. Необхідність. Нехай - збіжна, а це означає Тоді візьмемо і розглянемо

Достатність. Нехай - фундаментальна, тоді

(1)

Покладемо в (1), що тоді тобто всі члени послідовності з номерами не меншими за належать даному околу. А це означає (як і при доведенні обмеженості збіжної послідовності), що послідовність обмежена. Тоді за теоремою Больцано-Вейєрштрасса існує підпослідовність послідовності збіжна до деякого числа , тобто А це за означенням границі послідовності означає, що для вказаного в (1) існує (2). Візьмемо далі настільки великим щоб (із співвідношень (1)) і візьмемо Для таких матимемо А це означає, що буде не тільки частковою границею, а й границею Теорема доведена.

Використовуючи поняття фундаментальності, критерій Коші можна сформулювати ще й так.

Для того, щоб послідовність була збіжною необхідно і достатньо щоб вона була фундаментальною.

2. 3. Границя і неперервність функції

2. 3. 1. Гранична точка множини. Означення границі функції

Нехай - деяка множина дійсних чисел. Тоді - називається граничною точкою множини якщо в будь-якому околі цієї точки є безліч елементів множини Очевидно, що якщо складається із скінченої кількості точок, то граничної точки вона не має. має граничну точку: яка цій множині не належить. тут кожна точка цього відрізка є його граничною точкою і всі граничні точки цієї множини їй належать.

Розглянемо наступну властивість граничної точки.

Теорема 1. Якщо - гранична точка множини то існує послідовність елементів множини така, що

Доведення. Візьмемо Оскільки тут є безліч елементів множини то візьмемо один з них і позначимо його і Далі візьмемо Тут теж є безліч елементів множини тому Продовжуючи цей процес ми в знайдемо таку точку і В результаті ми одержимо послідовність всі члени якої відрізняються між собою, і всі вони належать до множини Крім того з побудови випливає (за теоремою „про два міліціонери”), вона ще й збіжна до Теорема доведена.

Приступимо до введення наступного важливого в математичному аналізі поняття.

Нехай деяка функція областю визначення якої є множина причому гранична точка цієї множини.

Означення 1 (Гейне). Число називається границею функції в точці (або при ) і записується якщо для будь-якої послідовності такої що, матимемо, що послідовність збігається до числа

Якщо співставити тільки що приведене означення із означенням границі послідовності, то можна вийти на ще одне означення границі функції.

Означення 2 (Коші). Число називається границею функції в точці якщо

Оскільки ми означення одному і тому ж поняттю дали двома способами то є потреба в наступному твердженні.

Теорема 2. Означення Гейне та Коші границі функції еквівалентні.

Доведення. Нехай в розумінні означення Коші. Доведемо, що в розумінні означення Гейне. З умови Коші маємо (1)

Візьмемо далі довільну послідовність таку що, З останньої рівності за означенням границі послідовності будемо мати, що для вказаного в (1) числа Враховуючи дві інші властивості ми будемо мати, що насправді Звідси за (1) маємо, що А це за означенням границі послідовності означає, що що в свою чергу дозволяє стверджувати, що число є границею функції в точці за означенням Гейне і перша частина теореми доведена.

Нехай тепер за означенням Гейне і доведемо, що число є границею за означенням Коші. З умови маємо, що для будь-якої послідовності випливає, що

Припустимо, що не є границею за Коші, тоді (2)

Оскільки (2) справедливе для то поклавши в умову, що будемо мати Аналогічно для ,

і для і так далі.

В результаті цього ми одержали дві послідовності: і Що стосується першої з них, то про неї можна сказати наступне: І, а також, що Звідси за теоремою „про два міліціонери”

Отже послідовність задовольняє всі вимоги означення Гейне. Подивимось на З її побудови бачимо, що ні один її член не належить значить не є її границею. Отже виходить, що число не є границею функції в точці за означенням Гейне, що суперечить умові. Одержана суперечність і доводить нашу теорему.

Повертаючись до означення Коші його можна записати дещо в іншому вигляді, замінивши приналежність до околу відповідною нерівністю.

Означення 3 (Коші). Число називається границею функції в точці якщо

Із теореми про єдність границі послідовності і означення Гейне зразу випливає, що якщо функція в точці має границю, то вона єдина. Крім цього з означення Гейне і теорем про арифметичні операції над збіжними послідовностями отримаємо наступне твердження

Якщо а ( де і задані на для якої точка є гранична), то

1)

2)

3) (при додатковій умові ).

Доведемо наприклад 2) (інші доводяться аналогічно).

З того, що і є границями функцій відповідно і в точці означає за Гейне, що для будь-якої послідовності випливає, що і Розглянемо послідовність Отримаємо А це знову за означенням Гейне означає, що Інші доводяться аналогічно.

З допомогою одержаних фактів можна ефективно обчислювати границі функції.

Наприклад. Обчислимо

(подумайте чи мали ми право скорочувати на ).