3. 2. 4. Точки перегину графіка функції та їх відшукання

Нехай – функція неперервна в околі точки . Якщо графік функції при переході через точку міняє опуклість на вгнутість або навпаки, то таку точку будемо називати точкою перегину графіка функції.

Найближчою нашою метою є пошук точок перегину функції. Подібно до екстремуму тут також є

Теорема 1 (Необхідна умова існування точок перегину).

Нехай неперервна в і точка – точка перегину графіка цієї функції. Якщо в цій точці існує похідна ІІ порядку, то вона дорівнює нулю.

Доведення.

В загальному об’ємі ми цієї теореми доводити не будемо, а будемо вимагати від функції додаткової умови (щоб спростити доведення), щоб друга похідна в точці була неперервною функцією. Отже, нехай – точка перегину функції. І в існує , яка неперервна в точці . Припустимо, що . А значить або . Нехай для конкретності . Звідси і з неперервності функції в точці , за Теоремою про Консервативність матимемо, що

Звідси, за попередньою теоремою, графік функції в цьому околі є опуклим. А це неможливо, бо – точка перегину і по різні боки від точки графік матиме різні опуклості.

Теорема доведена.

З останнього випливає, що точки перегину графіка функції слід шукати серед тих, де або не існує. Такі точки називатимемо критичними точками 2.

Візьмемо , для якої похідна ІІ порядку в точці 0 дорівнює нулю. Але точка 0 не є точкою перегину цієї функції. Це показує, що не в кожній критичній точці 2 буде перегин графіка функції. Отже і тут потрібні достатні умови.

Теорема 2 (Достатні умови існування точок перегину).

Нехай функція неперервна в і двічі диференційована в . Тоді, якщо при проходженні через точку друга похідна змінює знак, то ця точка є точкою перегину функції, якщо ж при проходженні друга похідна не змінює знаку, то ця точка не є точкою перегину.

Доведення.

Нехай, наприклад, в лівому півоколі похідна додатня, а в правому – менша нуля. Звідси, за теоремою про опуклість-вгнутість, матимемо, що в лівому півоколі графік вгнутий, а в правому – опуклий. Тобто, бачимо, що з різних боків точки графік має різні опуклості, а це за означенням значить, що точка є точкою перегину. Якщо ж друга похідна при проходженні через точку не змінює знак, то одержуємо «однакову опуклість», а отже точка не є точкою перегину.

Теорема доведена.

З попередніх двох теорем випливає наступний алгоритм пошуку точок перегину.

1. Знаходимо похідну ІІ порядку.

2. Знаходимо критичні точки 2.

3. До кожної із точок, одержаних в пункті 2) застосовуємо тільки що доведену теорему.

3. 2. 5. Асимптоти графіка функції

Означення 1. Пряма називається вертикальною асимптотою графіку функції , якщо при , маємо, що . (Інколи прямування слід брати тільки з однієї сторони).

Зауважимо, що якщо пряма є вертикальною асимптотою, то в точці функція терпить розрив ІІ роду. Проте обернене твердження невірне.

Означення 2. Пряма називається похилою асимптотою графіка функції на , якщо , коли ().

Наступна теорема повністю вирішує проблему асимптот.

Теорема 1 (Критерій існування похилої асимптоти).

Для того, щоб пряма була асимптотою на (чи , чи ) необхідно і достатньо, щоб існували наступні границі і виконувалися наступні рівності:

(1)

(2)

(на беруться коли , на , коли ).

Доведення.

Необхідність.

Нехай є асимптотою . Це означає, що

(3)

З останньої рівності маємо

Ясно, що права частина останньої рівності при , . Отже, маємо, що

З цієї ж самої рівності: . Перейшовши до границі при , , одержуємо рівність (2).

Достатність.

Нехай тепер виконуються рівності (1) і (2). З рівності (2) будемо мати, що

Позначимо різницю через . Тоді, переписавши

одержимо, що , (де і визначаються рівностями (1) і (2)) є асимптотою графіка.

Теорема доведена.

Повернемося на закінчення ще раз до дослідження функції на екстремум. Там в нас була теорема, яка дозволяє із критичних точок відбирати екстремальні. Виявляється є ще одна теорема, яка вирішує проблему, хоча іншими засобами.

Теорема 2 (ІІ достатні умови існування екстремуму).

Нехай – критична точка функції і ця функція двічі диференційована в цій точці, якщо , то – точка максимуму, якщо , то – точка мінімуму, якщо – потрібно робити додаткові дослідження.

Зауважимо, що сфера застосування цієї теореми вужча ніж першої .

Доведення.

В такому виді таку теорему довести складно. Доведення спроститься якщо покласти додаткову вимогу, щоб існувала в деякому околі точки , і щоб в точці була неперервною.

Нехай для конкретності в деякому околі точки (теорема про консервативність). Тоді в цьому околі спадна. Оскільки , то зліва від точки буде , а справа – . А це означає, що при переході через точку змінює знак з «+» на «-». А це за першою теоремо означає, що – точка максимуму.

Теорема доведена.

Тепер «зберемо» все те, що ми зробили в якийсь алгоритм, який дозволить нам провести дослідження функції і побудувати її графік.

Схема дослідження функції і побудова її графіку.

1. Знаходимо область визначення функції.

2. З’ясовуємо, чи дана функція на цій області визначення є парна, непарна, періодична.

3. Встановлюємо точки розриву, проміжки неперервності функції. Встановлюємо існування вертикальних і похилих асимптот.

4. Знаходимо проміжки монотонності і точки екстремуму функції.

5. Знаходимо проміжки опуклості, вгнутості та точки перегину.

6. Якщо можливо, знаходимо точки перетину з осями координат.

7. Будуємо графік функції.

Наприклад.

Провести повне дослідження і побудувати графік функції

.

1. Область визначення:

2. 

;.

3. Неперервна на ;).

Точок розриву, а отже, вертикальних асимптот немає.

З’ясуємо, чи є похилі асимптоти. Для цього шукаємо

= 0;

Отже . Тому – похила горизонтальна асимптота.

4. Знайдемо проміжки монотонності і точки екстремуму функції.

5.

Будуємо графік

РОЗДІЛ IV. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ