2. 4. 2. Логарифмічна функція

Тепер приступимо до побудови функції оберненої до показникової. Вище ми показали, що функція при є неперервною і монотонною на інтервалі з множиною значень Значить за теоремою про існування і неперервність оберненої функції на інтервалі існуватиме обернена функція, яка на цьому інтервалі теж буде неперервною і монотонною функцією. Щоб мати аналітичне її задання, врахуємо, що не показник степеня (логарифм), до якого треба піднести число щоб отримати число Скорочено це можна записати так До речі із самого означення логарифма випливає рівність яку інколи називають основною логарифмічною тотожністю. Перейшовши до звичних позначень отримаємо Цю функцію називають логарифмічною. Врахувавши теорему існування і неперервності оберненої функції, властивості показникової функції легко отримуємо наступні властивості логарифмічної функції.

1) - область визначення функції;

2) - монотонно зростаюча на при і монотонно спадна на при

3) неперервна на

4)

5) - множина значень.

Тепер вже легко нарисувати графіки цієї функції.

Використовуючи означення логарифма легко отримуються наступні так звані логарифмічні формули.

Доведення. 1) Позначимо і За означенням логарифма,

(11)

Перемножуючи почленно ці рівності, дістанемо: Тут є показник степеня, до якого треба піднести основу , щоб дістати число, яке дорівнює добутку. Отже можна записати: Зробивши відповідну заміну, остаточно дістанемо:

4. За означенням логарифма, прологарифмуємо останню рівність за основою . Маємо: звідки тобто

Решту логарифмічні формули доводяться аналогічно.

2. 4. 3. Загальностепенева функція і її властивості

Функція виду - називається загальностепеневою. Нескладний аналіз показує, що дана функція визначена на інтервалі (хоча при окремих область визначення її може бути ширшою).. Для вивчення властивостей цієї функції скористаємось означенням логарифма. Одержимо Отже, Врахувавши властивості функцій і знак числа легко одержимо наступні властивості нашої функції.

1) Область визначення -

2) Монотонно зростаюча на при і монотонно спадна на при

3) Неперервна на (за теоремою про неперервність складеної функції).

Графіки цієї функції для окремих значень мають вигляд.

2. 4. 4. Друга та інші цікаві границі

В розділі „Границя послідовності” ми довели, що і сказали, що ця границя розкриває невизначеність З’ясуємо чи не залишиться остання рівність вірною, якщо і прямування до нескінченності (не тільки до ), здійснюється не тільки по-натуральних числах, а по всіх дійсних числах. Для цього розглянемо функцію Очевидно, що

(1)

Звідси, а значить, (2)

Далі із монотонності показникової та степеневої функцій матимемо,

З тільки-що одержаної нерівності і відомої нам ІІ цікавої границі для послідовностей враховуючи, що за теоремою „про два міліціонери” одержуємо (3)

Для того, щоб одержати рівність (3) при ми рівність (3) напишемо дещо в іншому вигляді зробивши заміну,

(4)

Знайдемо, далі, лівосторонню границю функції в точці 0. Зробивши заміну при цьому можна вважати будемо мати,

Отже, ми довели

(5)

Зробивши в (5) заміну будемо мати,

(6)

З (3) і (6), а потім із (4) і (5) будемо мати,

(7)

Останні дві границі називають другою цікавою границею.

Використовуючи тільки-що доведені формули можна отримати ще декілька цікавих границь зв’язаних з недавно вивченими функціями: логарифмічною, показниковою, загально-степеневою.

ІІІ цікава границя. Нехай Тоді будемо мати,

Отже, ми одержали, Цю границю називають ІІІ цікавою. Зокрема, якщо то

IV цікава границя. Нехай знову Тоді (використавши заміну ) будемо мати,

Отже, ми отримали рівність Цю границю називатимемо IV цікавою. Знову, якщо то одержимо

Останні дві рівності можна записати дещо в іншій формі або

V цікава границя. Нехай - будь-яке дійсне число. Обчислимо

Отже, ми довели що Це так звана V цікава границя, яку ще можна написати і в такій формі