- •Паскевич Тетяна Іванівна магістерська робота електронний посібник для поглибленого вивчення математики учнями математичних ліцеїв та шкіл
- •1. 1. Поняття про електронний підручник
- •1. 2. Основні вимоги до електронного підручника
- •1. 3. Структуризація та оформлення електронного підручника
- •1. 3. 1. Особливості мови html
- •1. 3. 2. Редагування тексту
- •3Адання заголовків
- •1. 3. 3. Створення гіперпосилань і графіки на Web-cторінках
- •1. 3. 4. Робота з таблицями
- •1. 4. Програма Advanced Grapher.
- •1. 5. Етапи створення посібника
- •2. 1. Границя послідовності
- •2. 1. 1. Деякі позначення і термінологія
- •2. 1. 2. Числові послідовності та їх класифікація
- •2. 1. 3. Нескінченно малі послідовності та їх властивості
- •2. 1. 4. Границя послідовності
- •2. 1. 5. Граничний перехід в нерівностях
- •2. 1. 6. Нескінченно великі послідовності
- •2. 2. Теорія дійсних чисел
- •2. 2. 1. Теорія дійсних чисел
- •Порівняння дійсних чисел
- •Властивість транзитивності
- •Додавання дійсних чисел
- •Віднімання дійсних чисел.
- •Множення дійсних чисел
- •Частка двох дійсних чисел
- •Інші властивості дійсних чисел
- •2. 2. 2. Точні грані множини
- •2. 2. 3. Поняття підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Поняття часткової границі. Верхні і нижні границі, проблема їх існування
- •2. 2. 4. Критерій Коші збіжності послідовності
- •2. 3. Границя і неперервність функції
- •2. 3. 1. Гранична точка множини. Означення границі функції
- •2. 3. 2. Границя функції на нескінченності (випадок, коли )
- •2. 3. 3. Односторонні границі функції в точці
- •Перша цікава границя.
- •2. 3. 4. Означення неперервності функції в точці. Точки розриву функції та їх класифікація
- •2. 3. 5. Арифметичні операції над неперервними функціями
- •Одностороння неперервність функції в точці
- •2. 3. 6. Властивості неперервних функцій
- •Локальна властивість
- •2. Глобальні властивості
- •2. 3. 7. Обернена функція
- •2. 4. Показникова та логарифмічна функції і їх властивості
- •2. 4. 1. Степінь з раціональним показником. Показникова функція та її властивості
- •2. 4. 2. Логарифмічна функція
- •2. 4. 3. Загальностепенева функція і її властивості
- •2. 4. 4. Друга та інші цікаві границі
- •2. 4. 5. Гіперболічні функції та їх графіки
- •3. 1. Похідна та її обчислення
- •3. 1. 1. Поняття дотичної до кривої. Кутовий коефіцієнт дотичної
- •3. 1. 2. Диференційованість функції в точці. Зв’язок її з неперервністю і існуванням похідної
- •3. 1. 3. Правила диференціювання
- •3. 1. 4. Диференціал функції та його застосування
- •3. 1. 5. Похідні і диференціали вищих порядків
- •3. 1. 6. Параметрично задані функції і обчислення їх похідних
- •3. 1. 7. Теореми про середнє. І, іі правила Лопіталя. Критерій строгої монотонності функції
- •3. 2. Дослідження функції та побудова її графіку
- •3. 2. 1. Дослідження функції на екстремум
- •3. 2. 2. Дослідження функції диференційованої на відрізку на найбільше та найменше її значення на цьому ж відрізку
- •3. 2. 3. Опуклість і вгнутість графіка функції. Теорема про достатні умови опуклості, вгнутості функції на проміжку
- •3. 2. 4. Точки перегину графіка функції та їх відшукання
- •3. 2. 5. Асимптоти графіка функції
- •4. 1. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 1. Первісна. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 2. Заміна змінних у невизначеному інтегралі. Інтегрування за частинами
- •4. 2. Інтегрування різних класів функцій
- •4. 2. 1. Інтегрування раціональних функцій
- •4. 2. 2. Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій
- •4. 2. 3. Інтегрування ірраціональних функцій з квадратним тричленом під квадратним коренем. Підстановки Ейлера
- •4. 2. 4. Підстановки Чебишева
- •4. 2. 5. Інтегрування тригонометричних функцій
- •4. 3. Інтеграл Рімана
- •4. 3. 1. Суми Дарбу. Їх властивості та означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 2. Рівномірно-неперервні функції. Теорема Кантора
- •4. 3. 3. Друге означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 4. Властивості інтеграла Рімана
- •4. 3. 5. Інтеграл із змінною верхньою межею. Його властивості
- •4. 3. 6. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального числення). Інтегрування методом підстановки та за частинами
- •4. 4. Застосування інтеграла Рімана
- •4. 4. 1. Площа криволінійної трапеції
- •4. 4. 2. Площа криволінійного сектора.
- •4. 4. 3. Об’єм тіла обертання
- •4. 4. 4. Довжина дуги кривої
- •4. 4. 5. Площа поверхні обертання
- •4. 4. 6. Координати центра ваги матеріальної дуги та пластинки. Теореми Гульдена
2. 4. Показникова та логарифмічна функції і їх властивості
2. 4. 1. Степінь з раціональним показником. Показникова функція та її властивості
З курсу математики середньої школи відомо, що
В попередньому параграфі ми з’ясували, що Означимо степінь з довільним раціональним показником наступним чином: Можна довести, що степінь з раціональним показником має наступні властивості: будемо мати
Тепер нам треба ввести степінь з ірраціональним показником. Візьмемо довільне ірраціональне число . Розглядатимемо всеможливі раціональні числа і такі, що (1)
Нехай Тоді під ми розумітимемо таке число що для все можливих раціональних і із (1) справедлива нерівність
(2)
Найближчою нашою метою є доведення того, що таке буде існувати і воно буде єдиним. Для того, щоб це довести, нам потрібно вивчити деякі властивості функції
1) Справді, з того, що а врахувавши, що матимемо, що Припустимо, що Звідси (на основі монотонного зростання функції ), або а це протирічить нерівності яка випливає з нерівності Отже, ми отримали суперечність і потрібна нам властивість доведена.
2) є монотонно зростаючою на множині раціональних чисел.
Візьмемо і розглянемо різницю (за властивістю 1). Отже, Далі, нам ще потрібна буде наступна відома рівність:
(3)
Покажемо далі, що справедлива така
Теорема 1. із означення степеня існує і єдине.
Доведення. Існування. Візьмемо яке задовольняє нерівність (1), і зафіксуємо його. Розглядатимемо все можливі які задовольняють нерівність (1), в якій замість взято фіксоване нами В результаті одержимо множину чисел Очевидно ця множина не порожня і обмежена зверху числом (за властивістю (2)), оскільки то А значить існує що задовольняють (1). Позначимо Тоді що задовольняють (1). Оскільки довільне, то ми показали, що існує яке задовольняє співвідношення (2) при із (1) і існування із означення степеня з ірраціональним показником доведено.
Єдиність. Доведемо спочатку, що (4) Для доведення цього співвідношення скористаємося рівністю (3), але спочатку знову, як і в попередньому , зафіксуємо З рівності (3) за означенням границі будемо мати:
(5)
Візьмемо із співвідношення (5). Тоді із (1), такі що
(6)
Далі для таких чисел і будемо мати, А це означає, що (4) доведено.
Тепер вже легко довести єдиність Припустимо, що які задовольняють умовам нашого означення. Покладемо Оскільки задовольняють нерівність (2) із (1), то завжди
(7)
Тоді з (4) для тільки-що вибраного будемо мати, що і для яких
+ (8)
Із (7), (8) зразу маємо (бо ) і що неможливо, тому припущення невірне. Єдиність доведена.
Таким чином ми зараз ввели поняття для і і показали, що при кожному поточному існує і єдине. Цим самим ми означили функцію на всій числовій осі (для раціональних це було зроблено раніше), яку називатимемо показниковою .
Таким чином ми про цю показникову функцію знаємо:
при визначена на всій осі.
Вивчимо інші властивості цієї функції. Почнемо з монотонності.
2) - монотонно зростаюча на всій числовій осі.
Доведення. Візьмемо Очевидно існують раціональні числа Звідси і з означення степеня (дивись нерівності (1) і (2)) будемо мати: а тому А це означає, що монотонно зростаюча на всій числовій осі.
3) Функція - неперервна на всій області визначення.
Доведення. Візьмемо і покажемо, що Тоді беремо В процесі доведення єдності із означення степеня з довільним показником ми взяли, (*). З означення границі послідовності матимемо, Тоді з властивості 2. Звідси і з означення степеня з довільним показником отримаємо, а це означає, що Отже показникова функція неперервна.
4) Поведінка на краях області визначення. Справедливі рівності,
(9)
(10)
Доведення. Нехай спочатку тоді можна вважати, що і і будемо мати - (за нерівністю Бернулі), а звідси при зразу отримаємо що при випливає (бо ) і рівність (10) доведена. Нехай тепер Тоді можна вважати Тому Далі з того, що випливає і за (10) матимемо, значить і остаточно а це і є рівність (9).
Множиною значень показникової функції є інтервал
Оскільки, як випливає з означення показникової функції, лежить між і де і - раціональні числа, то Тому при доведенні цієї властивості потрібно показати, що будь-яке досягається функцією на множині дійсних чисел. З рівності (9) за означенням границі функції на будемо мати, що для вказаного вище знайдеться З рівності (10) матимемо, З останніх двох нерівностей бачимо, що (враховуючи монотонність показникової функції). Тоді розглянемо функцію на Вона тут неперервна і монотонно-зростаюча, значить множиною її значень буде відрізок але число належить цьому відрізку, а отже досягається нашою функцією.
Використовуючи одержані вище властивості можемо накреслити
графік функції коли
Розглянемо тепер ситуацію, коли Введемо Позначимо тоді Ясно, що існує завжди на множині дійсних чисел ( існує і не дорівнює нулю ).
Аналізуючи означення при і відповідні властивості функції вивчені вище, одержимо наступні властивості функції при
R – область визначення;
- монотонно спадна на
- неперервна на
- множина значень функції.
Графік функції має вигляд