4. 2. 2. Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій

–раціональна функція. За ми будемо приймати функцію, що зображується з допомогою дробу, чисельник і знаменник якого є многочленами від двох змінних і .

Наприклад.

–є раціональним;

–не є раціональним;

В цьому параграфі ми покажемо як інтегрувати 3 класи ірраціональних функцій. Найпростішим є випадок:

1)

Обчислимо інтеграл від такої функції:

Простий аналіз показує, що в цьому випадку можна спробувати заміну

(1)

;

Підставивши всі одержані вище значення під знак інтеграла ми побачимо, що підінтегральна функція є раціональною по , а інтеграл від такої функції ми вміємо обчислювати. Таким чином підстановка (1) розв’язує нашу задачу від такої функції. В цьому випадку кажуть, що заміна (1) раціоналізує інтеграл.

4. 2. 3. Інтегрування ірраціональних функцій з квадратним тричленом під квадратним коренем. Підстановки Ейлера

Нехай маємо . В цьому випадку також знайдемо підстановки, які раціоналізують такий інтеграл.

Для вирішення обчислення такого інтеграла використовують так звані підстановки Ейлера:

1. Нехай , тоді .

Знайдемо (в майбутньому ми будемо брати однакову комбінацію знаків).

,

Отже раціонально виражається через .

Виразимо корінь через :

Бачимо, що і корінь також виражається через раціонально. Підставивши під знак інтеграла вирази по від , кореня і одержимо під знаком інтеграла раціональну функцію від . І отже ми встановили, що в першому випадку перша підстановка Ейлера раціоналізує нам інтеграл.

2) Нехай , тоді

;

Бачимо, що раціонально виражається через , то в деякому випадку корінь теж раціонально буде виражатися через . Отже функція раціоналізується.

3) – корені тричлена , тоді

Значить раціонально виражається через . Значить третя підстановка раціоналізує наш інтеграл.

Зауважимо, що розглянуті вище 3 підстановки Ейлера повністю вирішують проблему раціоналізації таких інтегралів. Та часто підстановки Ейлера призводять до громіздких виразів, а тому, якщо є можливість обійтися без підстановок Ейлера, то цю можливість слід використовувати.

4. 2. 4. Підстановки Чебишева

Тут ми з’ясуємо як брати інтеграл виду:

–раціональні числа, – дійсні числа.

1. Якщо – ціле число, то підінтегральна функція буде із класу найпростіших ірраціональностей, які ми розглядали вище і в цьому випадку цей інтеграл раціоналізується , , де – спільний знаменник чисел і .

2. Нехай – не ціле, але , де – знаменник числа .

3. Нехай але .

В цьому випадку, щоб вийти на потрібну заміну потрібно дещо перетворити підінтегральний вираз:

Тоді заміна, яка раціоналізує наш інтеграл матиме вигляд:

, де – знаменник числа .

4) Якщо , то цей інтеграл не береться.

4. 2. 5. Інтегрування тригонометричних функцій

Тут ми будемо займатися обчисленням інтегралів виду:

.

Ми покажемо далі як можна раціоналізувати такий інтеграл.

1. Нехай спочатку підінтегральна функція має таку властивість: , (тобто підінтегральна функція є непарною відносно ). Виявляється, що в цьому випадку інтеграл раціоналізується з допомогою підстановки . Можна довести, що весь підінтегральний вираз є функцією від косинуса.

1.

, .

2.

,

3.

В випадку 3 можна довести, що підінтегральний вираз буде функцією Тому такий інтеграл в цьому випадку раціоналізується за допомогою підстановки: або

Якщо ж не виконується ні 1 ні 2 ні 3, то тоді, як ми побачимо нижче, наш інтеграл раціоналізується з допомогою так званої Універсальної тригонометричної підстановки .

Звідси видно, що дійсно універсальна тригонометрична підстановка раціоналізує наш інтеграл.

Зауважимо, що перед тим, як брати заданий інтеграл, треба перевірити чи не виконується одна з умов 1-3 і якщо виконується, то використовувати тільки її, а не універсальну тригонометричну підстановку, тому що остання приводить до складнішої раціональної функції під знаком інтегралу.

Приклад 1. Обчислити інтеграл:

Розв’язання:

Застосуємо універсальну тригонометричну підстановку:

Приклад 2. Обчислити інтеграл:

Розв’язання:

Приймаємо тоді

Записуємо ці вирази у формулу інтегрування частинами: