4. 4. 4. Довжина дуги кривої

Нехай неперервна на відрізку разом зі своєю першою похідною функція. Поставимо перед собою завдання обчислити довжину кривої, що є графіком цієї функції. Така крива називається гладкою.

.

Оскільки ми вміємо на даний момент вимірювати довжину лише відрізка, то традиційно поступаємо довільним чином. Візьмемо розбиття відрізка .

Утворимо на графіку нашої функції точки і з’єднаємо ці точки послідовно прямолінійними відрізками. Утвориться ламана, вписана в цю криву. Знайдемо довжину цієї ламаної. Спочатку однієї її ланки:

Отже довжина всієї ламаної:

(1)

Очевидно, отримана величина буде наближеним значенням «довжини» нашої кривої. Причому точність цього наближення буде тим вища чим дрібніше розбиття. Тому логічно дати наступне

Означення 1. Під довжиною кривої ми будемо розуміти , при умові, що границя існує.

Оскільки є інтегральною сумою для функції для розбиття відрізка і (не зовсім довільного) вибору точок , то, оскільки функція на є неперервною, а значить інтегрованою, то границя цієї суми при існуватиме і дорівнюватиме відповідному інтегралу.

Отже, ми встановили наступне:

1. Наша крива має довжину;

2. Вона обчислюється за формулою:

. (2)

Ми отримали формулу довжини кривої, яка задається явно в декартовій системі координат. Але ж крива може задаватися і параметрично, і зокрема в полярних координатах.

Отже, нехай – функція, неперервна на відрізку разом зі своїми першим похідними.

Цим ми задали деяку криву, яку ми теж будемо називати гладкою. Як обчислити довжину цієї кривої? Якщо припустити, що ця крива, або дана система рівнянь, задає як функцію від , то ми можемо в цьому випадку для обчислення довжини цієї кривої використати останню формулу довжини, де під тут розуміється похідна цієї параметрично заданої функції. Але ж .

Тоді

Отже, ми отримали, що в цьому випадку довжина кривої обчислюється за формулою:

(3)

Зауважимо, що остання формула вірна не тільки в тому випадку, коли наша крива задає як функцію від . Нею можна користуватися і для обчислення довжини кривої, яка задається параметрично при додатковій умові, що і неперервні разом зі своїми першими похідними на .

Залишається нам розглянути як обчислити довжину кривої, яка задається в полярних координатах. Нехай – деяка неперервна і невід’ємна разом зі своєї першою похідною на відрізку функція. Ця функція задаватиме в полярній системі координат деяку криву, довжину якої потрібно нам знайти. Зрозуміло, що для розв’язання цієї задачі можна скористатися формулою (2), якщо тільки ми зможемо параметризувати цю криву. А це, очевидно, можна зробити, якщо врахувати зв’язок між полярними і декартовими координатами.

.

Причому обидві функції справа в цих рівняннях будуть неперервні разом зі своїми похідними на . Отже можна застосувати (3) і для цього обчислимо і .

.

З рівності (3) зразу маємо:

(4)

• формула для обчислення довжини кривої, заданої в полярних координатах.