- •Паскевич Тетяна Іванівна магістерська робота електронний посібник для поглибленого вивчення математики учнями математичних ліцеїв та шкіл
- •1. 1. Поняття про електронний підручник
- •1. 2. Основні вимоги до електронного підручника
- •1. 3. Структуризація та оформлення електронного підручника
- •1. 3. 1. Особливості мови html
- •1. 3. 2. Редагування тексту
- •3Адання заголовків
- •1. 3. 3. Створення гіперпосилань і графіки на Web-cторінках
- •1. 3. 4. Робота з таблицями
- •1. 4. Програма Advanced Grapher.
- •1. 5. Етапи створення посібника
- •2. 1. Границя послідовності
- •2. 1. 1. Деякі позначення і термінологія
- •2. 1. 2. Числові послідовності та їх класифікація
- •2. 1. 3. Нескінченно малі послідовності та їх властивості
- •2. 1. 4. Границя послідовності
- •2. 1. 5. Граничний перехід в нерівностях
- •2. 1. 6. Нескінченно великі послідовності
- •2. 2. Теорія дійсних чисел
- •2. 2. 1. Теорія дійсних чисел
- •Порівняння дійсних чисел
- •Властивість транзитивності
- •Додавання дійсних чисел
- •Віднімання дійсних чисел.
- •Множення дійсних чисел
- •Частка двох дійсних чисел
- •Інші властивості дійсних чисел
- •2. 2. 2. Точні грані множини
- •2. 2. 3. Поняття підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Поняття часткової границі. Верхні і нижні границі, проблема їх існування
- •2. 2. 4. Критерій Коші збіжності послідовності
- •2. 3. Границя і неперервність функції
- •2. 3. 1. Гранична точка множини. Означення границі функції
- •2. 3. 2. Границя функції на нескінченності (випадок, коли )
- •2. 3. 3. Односторонні границі функції в точці
- •Перша цікава границя.
- •2. 3. 4. Означення неперервності функції в точці. Точки розриву функції та їх класифікація
- •2. 3. 5. Арифметичні операції над неперервними функціями
- •Одностороння неперервність функції в точці
- •2. 3. 6. Властивості неперервних функцій
- •Локальна властивість
- •2. Глобальні властивості
- •2. 3. 7. Обернена функція
- •2. 4. Показникова та логарифмічна функції і їх властивості
- •2. 4. 1. Степінь з раціональним показником. Показникова функція та її властивості
- •2. 4. 2. Логарифмічна функція
- •2. 4. 3. Загальностепенева функція і її властивості
- •2. 4. 4. Друга та інші цікаві границі
- •2. 4. 5. Гіперболічні функції та їх графіки
- •3. 1. Похідна та її обчислення
- •3. 1. 1. Поняття дотичної до кривої. Кутовий коефіцієнт дотичної
- •3. 1. 2. Диференційованість функції в точці. Зв’язок її з неперервністю і існуванням похідної
- •3. 1. 3. Правила диференціювання
- •3. 1. 4. Диференціал функції та його застосування
- •3. 1. 5. Похідні і диференціали вищих порядків
- •3. 1. 6. Параметрично задані функції і обчислення їх похідних
- •3. 1. 7. Теореми про середнє. І, іі правила Лопіталя. Критерій строгої монотонності функції
- •3. 2. Дослідження функції та побудова її графіку
- •3. 2. 1. Дослідження функції на екстремум
- •3. 2. 2. Дослідження функції диференційованої на відрізку на найбільше та найменше її значення на цьому ж відрізку
- •3. 2. 3. Опуклість і вгнутість графіка функції. Теорема про достатні умови опуклості, вгнутості функції на проміжку
- •3. 2. 4. Точки перегину графіка функції та їх відшукання
- •3. 2. 5. Асимптоти графіка функції
- •4. 1. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 1. Первісна. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 2. Заміна змінних у невизначеному інтегралі. Інтегрування за частинами
- •4. 2. Інтегрування різних класів функцій
- •4. 2. 1. Інтегрування раціональних функцій
- •4. 2. 2. Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій
- •4. 2. 3. Інтегрування ірраціональних функцій з квадратним тричленом під квадратним коренем. Підстановки Ейлера
- •4. 2. 4. Підстановки Чебишева
- •4. 2. 5. Інтегрування тригонометричних функцій
- •4. 3. Інтеграл Рімана
- •4. 3. 1. Суми Дарбу. Їх властивості та означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 2. Рівномірно-неперервні функції. Теорема Кантора
- •4. 3. 3. Друге означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 4. Властивості інтеграла Рімана
- •4. 3. 5. Інтеграл із змінною верхньою межею. Його властивості
- •4. 3. 6. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального числення). Інтегрування методом підстановки та за частинами
- •4. 4. Застосування інтеграла Рімана
- •4. 4. 1. Площа криволінійної трапеції
- •4. 4. 2. Площа криволінійного сектора.
- •4. 4. 3. Об’єм тіла обертання
- •4. 4. 4. Довжина дуги кривої
- •4. 4. 5. Площа поверхні обертання
- •4. 4. 6. Координати центра ваги матеріальної дуги та пластинки. Теореми Гульдена
2. 2. Теорія дійсних чисел
2. 2. 1. Теорія дійсних чисел
З’ясуємо чи вистачає раціональних чисел для вирішення різних проблем, як в математиці так в її застосуваннях. Розглянемо рівняння і розберемось чи при всіх такихдане рівняння має розв’язок в множині. ЯкщототоА що буде колиДоведемо, що таке рівняння не має коренів на множині
Припустимо зворотне, нехай деі взаємно прості (тобто дрібє нескоротний) є розв’язком цього рівняння, тоді матимемоабоідеа значитьТому матимемоа цей дріб скоротний. Одержане протиріччя і показує, що не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2, або що те саме, яке є коренем рівнянняТаким чином ми довели, що навіть таке просте рівняннянеможливо розв’язати користуючись тільки множиною раціональних чисел. Ця проблема, а також багато інших вимагають розширення множини раціональних чисел до деякої нової, на якій би ці проблеми вже можна було б розв’язати.
Як відомо з курсу елементарної математики, число квадрат якого дорівнює 2 називаєтьсяМи тільки що встановили, що воно не є раціональним числом. Але в школі ми користувалися таким числом, зокрема його наближеннями. Зрозуміло, щоб мати повне уявлення про це число треба мати можливість одержати будь-яке десяткове наближення цього числа з недостачею (чи з надлишком). Якщо ми випишемо всі такі наближення з цього числа, то одержимо деяку послідовність, яка вичерпно це число характеризуватиме, 1;1,4;1,41;1,414;1,4142;1,41421;… Неважко помітити, що така послідовність є обмеженою і монотонно неспадною послідовністю раціональних чисел. Більше того, зобразивши всі члени цієї послідовності на числовій осі, а такожми помітимо, щобуде границею цієї послідовності. Інтуїтивно відчутно, що кожна монотонно неспадна і обмежена зверху послідовність раціональних чисел „зобов’язана мати границю” , проте не у всіх випадках ця границя буде раціональним числом. І тому дамо таке
Означення 1. Число, що є границею монотонно неспадної і обмеженої зверху послідовності раціональних чисел називається дійсним. Множину всіх таких чисел позначатимемо .
Очевидно множина є підмножиноюМи знаємо, що на множиніє дії додавання, віднімання, множення та крім цього ці числа можна порівнювати. Чи будуть ці операції здійснюватись на новій множиніНижче ми дамо відповідь на це запитання, а також з’ясуємо чи не трапиться і тут таке, що якась монотонна і обмежена послідовність дійсних чисел не має границі, що є дійсним числом.
Порівняння дійсних чисел
Для того, щоб порівняти два дійсні числа спочатку дамо таке
Означення 2. Нехай і - дві монотонно неспадні і обмежені зверху послідовності раціональних чисел. Будемо говорити, щомажорує якщоЦе будемо записувати так
Проілюструємо це означення на прикладі двох послідовностей: ідеаБудемо мати, щотаке, щотомуа значить
З’ясуємо чи не мажоруватиме послідовностіВізьмемотаке, щоЗначитьі такимажоруєЗначить цей приклад показує, що можуть існувати послідовності кожна з яких мажорує іншу.
З’ясуємо чи існує дві послідовності з яких ні одна не мажорує іншу. Нехай такі послідовності є: і . Якщо невірно, що , то і якщо неправда, щотоЯсно, що тут протиріччя, тому що з останньої нерівності випливає: всіа з передостанньої нерівності маємо, щоодне ізОтже такої ситуації бути не може. Значить для двох будь-яких монотонно-неспадних і обмежених зверху послідовностей раціональних чисел можливі три наступні ситуації:
кожна з них мажорує іншу;
перша не мажорує другу;
друга не мажорує першу.
Якщо в ситуаціях описаних вище перша послідовність визначає дійсне число , а друга - то справедливе таке:
Означення 3. В ситуації 1) будемо говорити, що
в ситуації 2) -
в ситуації 3) -
Таким чином, цим означенням ми впорядкували множину дійсних чисел. Звідси і вказаного вище випливає те, що для будь-яких дійсних чисел і завжди виконується одна і тільки одна з трьох ситуацій.