Інші властивості дійсних чисел

Спочатку домовимось про наступні поняття:

1)

2)

3)

4)

Вище розглянуті множини відповідно називаються відрізком, інтервалом, піввідрізком, півінтервалом, які об’єднуються одною назвою проміжки.

Теорема 4 (аксіома Кантора). Нехай ми маємо послідовність відрізків з такими двома властивостями:

1) (послідовність вкладених відрізків);

2) довжини відрізків прямують до нуля, коли

Тоді існує єдине дійсне число таке, що належить всім відрізкам нашої послідовності, тобто:

Доведення. Із властивості 1) маємо, що послідовність - монотонно неспадна, а послідовність - монотонно незростаюча. Доведемо, що послідовність - обмежена зверху, а послідовність - обмежена знизу. Це випливає з наступної нерівності: (1). Припустимо, що (1) невірно. Тоді матимемо:(2). З цієї нерівності будемо мати, що відрізкиіматимуть не більше однієї спільної точки, в той час як один з них міститься в іншому.

Тому припущення невірне, а з ним (1) і обмеженість послідовностей і відповідно зверху і знизу доведені.

Значить за теоремою Вейєрштрасса

З цих двох рівностей і нерівності (1) за теоремою про граничний перехід в нерівностях отримаємо, що (3). Припустимо, щоОскільки послідовність - монотонно неспадна, а послідовність - монотонно незростаюча, то Значить,Звідси видно, що вне входить жоден член послідовностітому вона, не може бути нескінченно малою, що протирічить умові 2) нашої теореми.

Отже неправильно, що тому з нерівності (3) маємо:Покажемо, що число- є шукане. Оскількито це означає, щоі існування числадоведено.

Залишається довести єдність. Припустимо, що таких чисел є два іТодітому отримаємоЗвідси за теоремою про граничний перехід в нерівностях одержимощо суперечить умові 2) нашої теореми. Припущення невірне. Теорема доведена.

Уважний перегляд доведеної теореми дозволяє стверджувати, що аксіома Кантора є нескладним наслідком теореми Вейєрштрасса. Можна показати і зворотне, що теорема Вейєрштрасса теж є наслідком теореми Кантора. Отже, ці факти еквівалентні, але на цьому список еквівалентних тверджень не закінчується. Для одержання наступного нам потрібно ввести деякі нові поняття.

2. 2. 2. Точні грані множини

Якщо ми маємо деяку непорожню множину дійсних чисел, то подібно до послідовностей тут також можна говорити (з тими ж означеннями) про нижню, верхню межі множини, а також про обмеженість множини. Очевидно, що якщо деяка множина обмежена знизу (зверху), то вона має безліч нижніх (верхніх) меж. Неважко здогадатися, що із всіх цих нижніх (верхніх) меж найбільший інтерес представляє найбільша (найменша) із всіх нижніх (верхніх) меж. Її називатимемо точною нижньою (верхньою) гранню множини або інфінуумом (сюпремумом) множини і позначатимемо

Наприклад. - множина всіх ірраціональних чисел, що лежать між числами 1 і 2. Тодіі

Очевидно, що тут іне належать до множини, хоча існують приклади зворотнього. Зауважимо, що якщоналежить до множинито він буде найменшим елементом цієї множини. Оскільки точні грані вибираються як найменше чи найбільше число із безлічі чисел, то виникає проблема їх існування (адже не завжди із безлічі чисел можна вибрати максимальне чи мінімальне ). Наступна теорема розв’язує цю проблему.

Теорема 1 (Про існування точних граней множини). Кожна обмежена зверху (знизу) і не порожня множина дійсних чисел має

Доведення. Візьмемо множину - непорожню і обмежену зверху. Оскількинепорожня, тоЗ того, що множина обмежена зверху випливає, щотаке, що правіше відрізканема жодного елемента множини

Точкою поділимо відрізокна два рівних відрізки і позначимо черезцей з утворених відрізків, який містить хоча б одну точку множиниі правіше якого немає жодного елемента множиниЯкщо таких відрізків є два, то беремо будь-який. З цим відрізком робимо аналогічну процедуру. В результаті нескінченого продовження цієї процедури одержимо послідовність відрізків з такими властивостями:

1. 

2. довжина відрізка дорівнює

3. - не є порожньою множиною;

4. правіше нема жодного елемента множини

З перших двох властивостей за аксіомою Кантора маємо: Доведемо, що одержане числоі будеДля цього треба показати:

1. - є верхньою межею множини

2. - є найменшою з верхніх меж множини

Доведемо 1. Припустимо, що це не так. Тоді Візьмемоі утворимоОскількиналежить всім відрізкам нашої послідовності і довжини цих відрізків прямують до нуля, то обов’язково знайдеться хоча б один відрізокякий лежатиме в цьому околі, бо в протилежному випадку всі відрізки нашої послідовності не належали б цьому околу і оскільки вони міститимуть точкуто довжина кожного з них була б не меншою за радіус околуа це протирічить умові 2). Тоді це означатиме, що правіше цього відрізка є точкащо протирічить властивості 4). Припущення неправильне, а це означає , що 1. доведене.

Доведемо 2. Знову припустимо, що будучи верхнею межею не є найменшою з верхніх меж множиниЗначить,і- є верхнею межею множиниНехай зновуРозглянемоЯк і вище в цейпопаде хоча б один відрізокнашої послідовності. Оскільки(за припущенням) є верхнею межею множиниато всі точкилежать правіше точкиа значить,не містить жодного елемента множиниа це протирічить властивості 3). Припущення невірне і теорема доведена.

Зауважимо, що твердження не буде справедливим для множини раціональних чисел. Використовуючи означення точних граней можна одержати наступні властивості цих граней:

І) тоді:

1) (- нижня межа);

2) (з того, що- є найбільшою нижньою межею).

ІІ) тоді:

1)

2)

У зв’язку з доведеною теоремою і теоремою Вейєрштрасса виникає питання: чи немає зв’язку між границею монотонної, обмеженої послідовності і точними гранями цієї послідовності.