4. 3. 2. Рівномірно-неперервні функції. Теорема Кантора

Нехай – функція, задана на деякій множині і нехай вона неперервна в кожній точці цієї множини. Для будь-яких матимемо, за Коші, що означає неперервна функція в цій точці

Простий аналіз показує ,що залежить не тільки від , але і від .

Добре було б, якби функція була такою, щоб в останньому означенні залежало від і годилося відразу для всіх . Функції, що мають таку властивість називаються рівномірно-неперервними на .

Дамо точне означення цьому поняттю

Означення 1. Функція називається рівномірно-неперервною на , якщо

(1)

З цього означення випливає наступне:

Якщо функція рівномірно-неперервна на множині, то вона і неперервна на цій множині. А як бути із оберненим твердженням? Для того, щоб відповісти на це питання запишемо, що означає те, що функція не є рівномірно-неперервною на множині

(2)

Подивимося на функцію на інтервалі .

Розглянемо дві послідовності: і . Обидві . Тоді , а це означає, що

(3)

Візьмемо , на основі (3) . , ясно, що і і належать .

Отже, функція на інтервалі , будучи неперервною, не є на ньому рівномірно-неперервною. Таким чином, обернене твердження невірне.

Виникає питання: як же поводитиме себе ця функція, будучи неперервною на відрізку? Відповідь на нього дає

Теорема 1 (Кантор).

Якщо неперервна на , то вона на цьому відрізку і рівномірно-неперервна.

Доведення.

Доведемо методом від супротивного.

Нехай

(4)

Оскільки (4) виконується для будь-якого , то візьмемо числа , Зробивши це, будемо мати:

(5)

В результаті прокручування (5) безліч разів ми одержимо дві послідовності точок, всі члени яких належать відрізку , а значить обидві є обмеженими. З обмеженості першої послідовності, за відомою теоремою, маємо, що існує деяка збіжна її підпослідовність. Позначимо її через .

(6)

За теоремою про граничний перехід в нерівностях – .

Виділимо далі з другої послідовності підпослідовність по тих самих індексах , що й першу підпослідовність. Тоді із збіжності до , нерівності і монотонності послідовності зразу маємо , що і

(7)

Із (6) і (7) і того, що і неперервності в точці маємо:

,

(за означенням неперервності функції за Гейне) ,

а тому.

А це означає, що починаючи з деякого номера, модуль останньої різниці менший за із (5), що суперечить останній нерівності з (5). Припущення невірне. Теорема доведена.

Тепер, коли ми з’ясували поняття рівномірно-неперервної функції на множині, знову повернемося до проблеми функції, інтегрованої за Ріманом. Раніше ми зауважили, що критерій, який ми маємо, на практиці неефективний, але за його допомогою і теоремою Кантора ми одержимо наступне, дуже важливе з точки зору практики і не тільки, твердження

Теорема 2 (Про інтегрованість за Ріманом неперервної на відрізку функції).

Якщо функція неперервна на відрізку , то вона інтегрована на цьому відрізку.

Доведення.

Якщо , то і рівномірно-неперервна на за теоремою Кантора.

А це означає:

(1)

Візьмемо далі яке-небудь розбиття відрізка , але таке, щоб довжина найбільшого елементарного відрізка розбиття, яка називається кроком розбиття і позначається , була менша за . Утворимо і . Розглянемо різницю

(Оскільки неперервна на , то за другою теоремою Вейєрштрасса, то знайдуться , )

А це означає за критерієм інтегрованості, що .

Теорема доведена.

Цікаво, чи буде вірне обернене твердження. Відповідь на це питання дає наступна теорема

Теорема 3 (Про інтегрованість монотонної функції).

Якщо монотонна на , то вона інтегрована за Ріманом на цьому відрізку.

Зауваження. Якщо ця теорема буде доведена, то, оскільки монотонні функції можуть бути і розривними, стає зрозуміло, що відповідь на поставлене запитання про оборотність – негативна.

Доведення.

Нехай для конкретності монотонно-неспадна на . Причому Бо коли б , то вона була б неперервна і інтегрована за Ріманом. Виберемо

.

Розглянемо різницю

(2)

Візьмемо далі

.

Оскільки (2) вірне для розбиття, то воно вірне і для нашого розбиття. Значить для нього будемо мати:

А це означає за критерієм інтегрованості, що функція інтегрована за Ріманом.

Теорема доведена.

Отже, попередні дві теореми стверджують, що класи всіх неперервних на і монотонних на функцій повністю входять в множину інтегрованих за Ріманом функцій. Наступна проблема, яка постає тут, це обчислення інтеграла функції за Ріманом. Для вирішення цього нам слід розглянути як ведуть себе суми Дарбу, коли крок розбиття прямує до нуля. Тому розглянемо ще деякі властивості сум Дарбу.

Лема 3.

Нехай – розбиття відрізка , а – його подрібнення, яке відрізняється від нього - новими точками.

Тоді справедливі нерівності:

Доведення.

Попередній досвід показує, що ми почнемо з випадку . Отже, нехай . Ясно, що – інтервалу розбиття. Позначимо через ,

.

А це означає, що перша із нерівностей доведена. При доведено, а значить, можна довести методом математичної індукції і для загального випадку.

Доведення другої нерівності аналогічне. Пропонуємо довести її самостійно.

Лема 4.

Якщо обмежена на функція, то

(3)

(4)

Доведення.

Доведемо першу з рівностей, а друга доводиться аналогічно. Запишемо спочатку, що означає рівність 3, за означенням границі

розбиття (5)

Довівши (5), ми доведемо і (3). З того, що випливає, що

(6)

Нехай – кількість точок розбиття без кратних точок. Тоді візьмемо .

(можна вважати, що , бо в протилежному випадку якщо б , функція була б константою, а для неї всі нижні суми Дарбу добутку цієї константи на довжину відрізка і рівність (3) була б очевидною). Візьмемо далі . Позначимо через . Значить – це подрібнення за рахунок не більш ніж точок. Тоді за доведеною вище Лемою 3 будемо мати:

(7)

Розглянемо різницю

(Оскільки (за Лемою 1), то з цієї нерівності і переписаної у вигляді нерівності (6) і нерівності (7) будемо мати)

А це означає, що твердження (5), а з ним і рівність (3), а отже і Лема 4 доведена.

Зауважимо, що Лема 4 дозволяє нам в простих ситуаціях дещо ефективніше шукати сам інтеграл Рімана, якщо відомо, що функція інтегрована за Ріманом.