3. 2. 2. Дослідження функції диференційованої на відрізку на найбільше та найменше її значення на цьому ж відрізку

Якщо функція диференційована на відрізку , то вона і неперервна на ньому, а значить за ІІ теоремою Вейєрштрасса існує дві точки на цьому відрізку , в яких функція досягає свого найменшого та найбільшого значень.

Як знайти ці точки?

Нескладний аналіз показує, що ці точки треба шукати так:

1. Знайти критичні точки функції , які належать .

2. Приєднати до них кінці відрізка.

3. Знайти значення функції в кожній із точок, отриманих в 2).

4. Із одержаних значень в 3) вибрати найбільше і найменше, вони будуть відповідно найбільшим і найменшим значеннями функції на відрізку.

Приклад.

Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку , якщо .

;

Знайшли критичну точку , приєднуємо до неї кінці відрізка і знаходимо значення в кожній із точок.

=1, x

=, x

3. 2. 3. Опуклість і вгнутість графіка функції. Теорема про достатні умови опуклості, вгнутості функції на проміжку

В цьому параграфі ми навчимося як з допомогою похідної ІІ порядку встановлювати форму графіка функції на тому чи іншому проміжку. Спочатку введемо поняття опуклої та вгнутої кривих.

Означення 1. Крива АВ називається опуклою, якщо вона розміщена не вище дотичної, проведеної до неї в довільній її точці.

Аналогічно вводиться поняття вгнутої кривої

Означення 2. Вгнута крива – це така крива, яка лежить не нижче дотичної, проведеної до неї в довільній її точці.

Очевидно графіком функції є вгнута крива, а графіком функції на проміжку є опукла, а на проміжку – вгнута крива.

В зв’язку з цим виникає питання: «А чи можна, маючи аналітично задану функцію, встановити проміжки опуклості та вгнутості графіка цієї функції?».– Можна. Це доводить наступна теорема.

Теорема 1 (Достатні умови опуклості, вгнутості графіка функції)

Нехай двічі диференційована на функція. Тоді, якщо , то графік функції вгнутий на цьому інтервалі. Якщо ж ,то графік функції опуклий.

Доведення.

Оскільки дві умови однакові, то доведемо одну з них.

Нехай . Доведемо, що графік буде опуклим. Оскільки на існує всюди похідна ІІ порядку, то тим більше в кожній точці існуватиме похідна І порядку, а це означає, що існуватиме дотична.

Візьмемо і проведемо дотичну.

(1)

Візьмемо далі . Знайдемо різницю , де – це значення функції в точці , а – це значення функції в точці . Тобто інакше кажучи, це різниця між ординатою дотичної і ординатою графіка нашої функції в точці . Нам слід довести, що ця різниця між буде на . (В точці видно, що вона дорівнює 0). Тому подивимося на неї в інших точках.

=

Функція на відрізку з кінцями (який ) повністю задовольняє умовам теореми Лагранжа, згідно я кою існуватиме точка , яка лежить між і :

.

Підставивши це у останній вираз будемо мати:

З умови теореми одержуємо, що диференційована (бо існує похідна ІІ порядку) і неперервна (бо диференційована) на . Значить на відрізку , для функції виконуються всі умови теореми Лагранжа. Значить , яка лежить між і : . Підставивши в останній вираз будемо мати

Таким чином ми отримали наступну рівність:

(2)

1)

2)

В результаті, аналізуючи праву частину (2), бачимо, що у всіх випадках вона додатна. Отже , точка на дотичній знаходиться вище від точки на кривій, а отже, як випливає з означення, графік функції опуклий. Теорема доведена.