- •Паскевич Тетяна Іванівна магістерська робота електронний посібник для поглибленого вивчення математики учнями математичних ліцеїв та шкіл
- •1. 1. Поняття про електронний підручник
- •1. 2. Основні вимоги до електронного підручника
- •1. 3. Структуризація та оформлення електронного підручника
- •1. 3. 1. Особливості мови html
- •1. 3. 2. Редагування тексту
- •3Адання заголовків
- •1. 3. 3. Створення гіперпосилань і графіки на Web-cторінках
- •1. 3. 4. Робота з таблицями
- •1. 4. Програма Advanced Grapher.
- •1. 5. Етапи створення посібника
- •2. 1. Границя послідовності
- •2. 1. 1. Деякі позначення і термінологія
- •2. 1. 2. Числові послідовності та їх класифікація
- •2. 1. 3. Нескінченно малі послідовності та їх властивості
- •2. 1. 4. Границя послідовності
- •2. 1. 5. Граничний перехід в нерівностях
- •2. 1. 6. Нескінченно великі послідовності
- •2. 2. Теорія дійсних чисел
- •2. 2. 1. Теорія дійсних чисел
- •Порівняння дійсних чисел
- •Властивість транзитивності
- •Додавання дійсних чисел
- •Віднімання дійсних чисел.
- •Множення дійсних чисел
- •Частка двох дійсних чисел
- •Інші властивості дійсних чисел
- •2. 2. 2. Точні грані множини
- •2. 2. 3. Поняття підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Поняття часткової границі. Верхні і нижні границі, проблема їх існування
- •2. 2. 4. Критерій Коші збіжності послідовності
- •2. 3. Границя і неперервність функції
- •2. 3. 1. Гранична точка множини. Означення границі функції
- •2. 3. 2. Границя функції на нескінченності (випадок, коли )
- •2. 3. 3. Односторонні границі функції в точці
- •Перша цікава границя.
- •2. 3. 4. Означення неперервності функції в точці. Точки розриву функції та їх класифікація
- •2. 3. 5. Арифметичні операції над неперервними функціями
- •Одностороння неперервність функції в точці
- •2. 3. 6. Властивості неперервних функцій
- •Локальна властивість
- •2. Глобальні властивості
- •2. 3. 7. Обернена функція
- •2. 4. Показникова та логарифмічна функції і їх властивості
- •2. 4. 1. Степінь з раціональним показником. Показникова функція та її властивості
- •2. 4. 2. Логарифмічна функція
- •2. 4. 3. Загальностепенева функція і її властивості
- •2. 4. 4. Друга та інші цікаві границі
- •2. 4. 5. Гіперболічні функції та їх графіки
- •3. 1. Похідна та її обчислення
- •3. 1. 1. Поняття дотичної до кривої. Кутовий коефіцієнт дотичної
- •3. 1. 2. Диференційованість функції в точці. Зв’язок її з неперервністю і існуванням похідної
- •3. 1. 3. Правила диференціювання
- •3. 1. 4. Диференціал функції та його застосування
- •3. 1. 5. Похідні і диференціали вищих порядків
- •3. 1. 6. Параметрично задані функції і обчислення їх похідних
- •3. 1. 7. Теореми про середнє. І, іі правила Лопіталя. Критерій строгої монотонності функції
- •3. 2. Дослідження функції та побудова її графіку
- •3. 2. 1. Дослідження функції на екстремум
- •3. 2. 2. Дослідження функції диференційованої на відрізку на найбільше та найменше її значення на цьому ж відрізку
- •3. 2. 3. Опуклість і вгнутість графіка функції. Теорема про достатні умови опуклості, вгнутості функції на проміжку
- •3. 2. 4. Точки перегину графіка функції та їх відшукання
- •3. 2. 5. Асимптоти графіка функції
- •4. 1. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 1. Первісна. Невизначений інтеграл
- •4. 1. 2. Заміна змінних у невизначеному інтегралі. Інтегрування за частинами
- •4. 2. Інтегрування різних класів функцій
- •4. 2. 1. Інтегрування раціональних функцій
- •4. 2. 2. Інтегрування деяких класів ірраціональних функцій
- •4. 2. 3. Інтегрування ірраціональних функцій з квадратним тричленом під квадратним коренем. Підстановки Ейлера
- •4. 2. 4. Підстановки Чебишева
- •4. 2. 5. Інтегрування тригонометричних функцій
- •4. 3. Інтеграл Рімана
- •4. 3. 1. Суми Дарбу. Їх властивості та означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 2. Рівномірно-неперервні функції. Теорема Кантора
- •4. 3. 3. Друге означення інтеграла Рімана
- •4. 3. 4. Властивості інтеграла Рімана
- •4. 3. 5. Інтеграл із змінною верхньою межею. Його властивості
- •4. 3. 6. Формула Ньютона-Лейбніца (основна формула інтегрального числення). Інтегрування методом підстановки та за частинами
- •4. 4. Застосування інтеграла Рімана
- •4. 4. 1. Площа криволінійної трапеції
- •4. 4. 2. Площа криволінійного сектора.
- •4. 4. 3. Об’єм тіла обертання
- •4. 4. 4. Довжина дуги кривої
- •4. 4. 5. Площа поверхні обертання
- •4. 4. 6. Координати центра ваги матеріальної дуги та пластинки. Теореми Гульдена
4. 1. Невизначений інтеграл
4. 1. 1. Первісна. Невизначений інтеграл
В попередньому розділі ми, маючи функцію , задану на , шукали похідну цієї функції . Тут ми будемо розв’язувати іншу задачу, ми будемо мати функцію на і будемо шукати іншу функцію .
Очевидно, що проблема пошуку функції є оберненою до проблеми відшукання похідної. Цей розділ буде присвячений саме розв’язуванню оберненої проблеми.
Нехай функція – деяка функція, задана на проміжку .
Означення 1. Функція називається первісною до функції на інтервалі (можна і на відрізку ), якщо .
Розглянемо
Приклад.
. Тоді . Очевидно, що для буде мати також і (с=const) – теж буде первісною, до .
Наступна теорема вирішує питання про те, чи може первісна до функції мати інший вигляд ніж , де – якась первісна до на .
Теорема 1 (Про множину всіх первісних).
Якщо є первісною до на , то будь-яка інша первісна до на матиме вигляд , де – деяка const.
Доведення.
Розглянемо функцію . Очевидно ця функція є диференційованою на (адже такими є і ). Обчислимо Звідси, за наслідком з теореми Лагранжа, маємо, що – const на :
;
Теорема доведена.
Таким чином ми знаємо, що якщо є первісною до на , то множиною всіх первісних до буде наступна множина:
{}, .
Означення 2. Множина всі первісних функції до заданої функції на інтервалі називається невизначеним інтегралом і позначається
Із преамбули на початку розділу можна зробити висновок, що операції інтегрування і диференціювання є взаємооберненими і досвід з алгебри підказує, що слід чекати того, що введена операція інтегрування буде «складнішою» ніж диференціювання. Підтвердимо, що ці операції є взаємооберненими.
Нехай первісна до на , тоді і інтеграл:
;
Нехай тепер навпаки
Останні дві рівності підтверджують взаємооберненість операцій інтегрування і диференціювання.
При диференціюванні ми мали багато правил, які суттєво полегшували процедуру обчислення похідної. Чи є якісь правила для обчислення інтегралів?
Теорема 2 (Правила інтегрування).
Нехай – деякі функції, інтегровані на інтервалі і – деяка константа (), тоді справедливими тут будуть такі рівності:
1)
2) ,
Доведення.
1)
Нехай , на
, на
Розглянемо функцію
А це означає, що - є первісною на до . А тоді:
Тепер для того, щоб довести потрібну нам рівність 1) потрібно доказати, що сума множин і дорівнює множині (Під сумою цих множин ми будемо розуміти множину, елементами якої будуть функції, які утворяться від додавання будь-якого елемента першої множини і будь-якого елемента другої множини). З того, що – довільні дійсні константи зразу випливає, що означені вище дві множини є рівними, а значить рівність (1) теж вірна.
Зауважимо, що формули 1) і 2) можна записати в такому вигляді:
На відміну від правил диференціювання тут більше загальних правил інтегрування нема, хіба що дещо нижче буде ще дві формули, які з певною натяжкою можна віднести до аналогів деяких правил диференціювання в інтегруванні.
Наприклад.
1.
2.
Тут ми одержуємо аналог таблиці Похідних в Диференціальному численні – таблицю інтегралів.
Таблиця інтегралів
1. . |
2. . |
3. . |
4. . |
5. |
6. |
7. . |
8. |
9. . |
10. . |
11. . |
12. . |
13. . |
14. . |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. . |
20. . |
21. . |
22. . |
23. |