2.3.4. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя

Определитель матрицы А порядка n также записывается в виде A или

det(A) и вычисляется через определители порядка n-1. Для того, чтобы ввести понятие определителя n-гопорядка и задать способ его вычисления, введем сначала понятие минора элемента матрицы.

Минором элемента aij матрицы А n-го порядка называется определитель матрицы (n-1) порядка, которая получается из матрицы А после вычеркивания в А ее i-йстроки и j-гостолбца. Минор элемента aij обозначается Мij. При этом определитель матрицы первого порядка считается равным единственному элементу этой матрицы.

Это определение проще всего освоить для определителей 2 и 3 порядка. Пример 3.5. Выписать миноры элементов матриц:

	3	7		−13	5			1	3	5
1)			2)				3)	7	9	11
	4	11		17	1			13	15	17

В первом определителе, после вычеркивания первой строки и первого столбца сразу получаем: М11=11, так как оставшееся после вычеркивания единственное число можно рассматривать как определитель первого порядка. Аналогично получаем М12 =4, М21 =7, М22 =3. Для второго определителя М11=1, М12=17, М21 =5, М22= -13. Для последнего определителя придется вычислять определители второго порядка, которые будут оставаться после вычеркивания строки и столбца определителя. Так,

								М11=					9 11			=	9	11	= 6	9	2		= −12
													15	17			6	6		1	0
M12 =		7 11			=		7	11		= 6		7	4		= −24			М13=				7 9			=		7	2		= 2		7	1		= −12
		13	17				6	6				1	0									13	15				13	2				6	0

Аналогично вычисляются миноры всех остальных элементов:

М21=			3 5			= 3	1	5	= 3			1		5	= −24			М22=				1 5			=		1 5					= −48
			15	17			5	17				2		2								13	17				12			12
М23=		1	3		= −24, М31=					3		5		−12 М32 =			1	5		= −24, М33=									1	3				= −24
		13	15							9	11						7	11											13	15

Приведенный пример показывает, что отыскание миноров элементов определителей третьего порядка сводится к правильному вычеркиванию столбца и строки, а затем – к вычислению определителей второго порядка. То же самое надо делать и для вычисления миноров элементов определителей более высоких порядков.

Задача 3.4. Вычислить миноры всех элементов определителей:

	−2	7			6	3	4
1)				2)	5	7	−3
	5	13			17	−8	9

Для отыскания определителя произвольного порядка нужно еще понятие алгебраического дополнения элемента определителя.

34

Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется ми-

нор этого элемента, если сумма мест элемента (i+j) четная, и минор этого элемента с противоположным знаком, если сумма мест элемента (i+j) – не-

четная. Алгебраическое дополнение элемента аij обозначается Аij. Таким образом, Аij = (-1)i+j Мij.

Пример 3.6. Найти алгебраические дополнения всех элементов определителей из предыдущего примера.

Поскольку миноры элементов были выписаны, получаем: для элементов

первого определителя: А11=М11=11, А12= -М12= -4, А21= - М21= -7, А22=М22=3; для элементов второго определителя: А11=М11=1, А12= -М12= -17, А21= - М21= -5,

А22=М22= -13; для элементов третьего определителя: А11=М11= -12, А12=

-М12=24, А13= М13= -12, А21= -М21=24, А22=М22= -48, А23= -М23=24, А31= М31= -12, А32= М32=24, А33= М33= -12.

Задача 3.5. Найдите алгебраические дополнения всех элементов определителей:

1)		4	7	−9				−3	2	5
		−3	2	5		2)		4	7	−9
		8	−11	6				8	−11	6

Рекомендация. Убедитесь, что второй определитель получился после перестановки местами первых двух строк первого определителя, и сравните вычисленные алгебраические дополнения соответствующих элементов в одинаковых строчках этих двух определителей.

Задача 3.6. Для определителей задачи 3.5. сосчитайте суммы

S1 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 S2 = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23

и сравните их с суммами

S3	= a31 A31	+ a32 A32	+ a33 A33	Z 3	= a13 A13	+ a23 A23	+ a33 A33
Z 2	= a12 A12	+ a22 A22	+ a32 A32	Z1	= a11 A11	+ a21 A21	+ a31 A31

Предостережение. Для каждого определителя все шесть сумм, которые надо вычислить в этой задаче, должны получиться одинаковыми. Проверьте результаты еще раз, если этого не получилось.

Задача 3.7. Для определителей задачи 3.5 сосчитайте суммы:

S12 = a21 A11 + a22 A12 + a23 A13 , S13 = a31 A11 + a32 A12 + a33 A13 .

Указание. Эти суммы отличаются от суммы S1 в задаче 3.6 только тем, что в каждом слагаемом алгебраическое дополнение элемента первой строки умножается на соответствующий элемент второй строки в S12 и третьей строки в S13. Сосчитайте аналогичные суммы с алгебраическими элементами других строк и столбцов определителей. Убедитесь, что все они равны нулю.

Задача 3.8. Сосчитайте суммы аналогичные S1, S2, Z1, Z2, S12, S21, Z12, Z21 для первого определителя в задаче 3.4. или для любого другого определителя второго порядка. Сравните результаты и обдумайте их.

Результаты задач 3.5.-3.8. заставляют внимательно отнестись к суммам произведений алгебраических дополнений элементов на соответствующие элементы строк (столбцов). Ведь не случайно они совпадают! Наверняка это свойство может пригодиться. Попытайтесь убедиться, что оно верно всегда.

35

2.3.5. Определитель произвольного порядка

Определителем матрицы А n-го порядка называется сумма произведе-

ний всех элементов любой строки (или любого столбца) этой матрицы на их алгебраические дополнения. Формально это значит, что

A = ai1 Ai1 + ai2 Ai 2 +... + ain Ain = a1 j A1 j + a2 j A2 j +... + anj Anj

где i и j могут принимать любые значения 1,2,…,n.

Объяснение. Можно доказать, что независимо от выбора номера строки или столбца сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения всегда равна одному и то же числу. Доказательство этого утверждения в общем случае опущено. Для определителей второго и третьего порядка оно проверялось в задачах 3.4., 3.6. и 3.8.

Приведенные записи A по элементам i-й строки называются соответ-

ственно разложениями определителя по i-й строке и по j-му столбцу. Пример 3.7. Найти определитель третьего порядка:

A			3	7	2
		=	2	5	− 4
			6	1	0

Выберем i=1. Тогда

A = 3A11 + 7 A12 + 2A13

После вычисления алгебраических дополнений

A11 =		5	− 4		= 4, A12	= −		2	− 4		= −24, A13 =		2	5		= 2 − 30 = −28
		1	0					6	0				6	1

получаем теперь

A = 3×4 +7 ×(−24) + 2×(−28) =12 −168 −56 = −212

Немного проще тот же результат получится, если воспользоваться i =3. Так как а33=0 потребуются только два алгебраические дополнения:

A =	7	2	= −28 −10 = −38,	A = −	3	2	= −(−12 − 4) =16.
31	5	− 4		32	2	− 4

Поэтому

A = 6×(−38) +16 = −228 +16 = −212.

Таким образом, результат вычисления не зависит от выбора i и j.

В задача 3.6. вычисления сумм S1, S2, S3 означало отыскание определителя третьего порядка разложением по столбцам определителя, а вычисления сумм Z1, Z2, Z3 – отыскание того же определителя разложением по строкам. Проверьте, что при решении этой задачи все результаты действительно получились одинаковыми.

Задача 3.9. Убедитесь, что для определителей второго порядка приведенное определение дает прежний результат a22 a11 − a12 a21 при разложении по

любой строке или столбцу определителя.

Указание. Выпишите сначала все алгебраические дополнения элементов для произвольного определителя второго порядка, а затем подставляйте их в разложения по строкам и по столбцам.

36

Пример 3.8. Вычислить определители:

	7	9	3		3	0	7	11
					− 2	5	9	− 4
1)	2	5	−6	2)
	9	− 4	11		1	0	3	8
					4	−1	6	0

Вычислим первый определитель разложением по первой строке. Для этого сосчитаем сначала алгебраические дополнения всех элементов этой строки. Имеем:

A	=	5	−6	= 55−24 = 31, A	= −	2	−6	= −(22 +54) = −76, A	=	2	5	= −8 −45 = −53
11		−4	11	12		9	11	13		9	−4

Теперь разложение по первой строке дает: A =7×31-9×76-3×53=217-684-

159 = -626

Тот же самый результат должен получиться при разложении по любому столбцу. Так, разложением по второму столбцу находим: A = 9А21+5А22-4А23,

где

A	= −	2	− 6	= −(22 + 54) = −76, A	22	=	7	3	= 50, A	32	= −	7	3	= −(−42 − 6) = 48
12		9	11				9	11				2	− 6

Поэтому после подстановки получаем: A = -9×76+5×50-4×48= -684+250-

192 = -626

Совпадение результатов вычислений, полученных с помощью двух разных разложений, можно считать доказательством отсутствия ошибок.

Для вычисления второго определителя воспользуемся разложением по второму столбцу, так как в нем два элемента равны нулю. Получаем

A = 5A22 − A42 и

	3	7	11		3	7	11
A22 =	1	3	8	, A42 =	−2 9		−4
	4	6	0		1	3	8

Вычисление первого из этих алгебраических дополнений как определителя третьего порядка разложением по последнему столбцу дает:

A22	=11	1	3	−8	3	7	=11(6 −12) −8(18 −28) = −66 +80 =14
		4	6		4	6

Для проверки вычислим его и разложением по последней строке:

A 22 = 4	7	11	− 6	3	11	= 4(56 − 33) − 6(24 −11) = 4 × 23 − 6 ×13 = 92 − 78 = 14
	3	8		1	8

Оставшийся определитель также сосчитаем разложением по последней строке:

A42 =

7

11

−3

3

11

+ 8

3

7

= (−28 − 99) −3(−12

+ 22)

+ 8(27 +14)

=

9

− 4

− 2

− 4

− 2

9

=

−127 −

30 + 328 =171

Теперь подстановка дает: A = 5 ×14 −171 = −101.

37