Ответы

2.1. Понятие матрицы. Основная терминология

1.1. b11=-14, b12=-7, b13= 10, b21= 12, b22=-3, b23=-5; b13- b21 = 10-12=-2; 4 ; 3.

1.5.Является матрицей-столбцом и матрицей-строкой.

1.6.В матрицах нечетного порядка.

1.11.матрица-строка.

1.12.аij = аji при i ≠ j.

1.13.cij= aij +bij.

	− 11					3		9
				11		− 3		3						5				3		8		15
1.14. 1)										, 2)														5
				7		7		15						30				− 68		17		− 15		21
				1		8							− 10					11		19		59		24
								− 5
1.16. 5А= (−4030							1525		−4555)
	27			101		− 78
1.17.				− 8		34		.
45
				60		− 20							− 79,4						21,6
						38			2)
1.18. 1) 132											132 − 94,4								38 − 15
1.21. А=В+С
2.2. Умножение матриц и системы линейных уравнений
− 35							15					− 40								17								− 2		− 31	81		37
					25												43				; 3) нельзя; 4)								19	− 19	6		− 5
2.2. 1)										; 2)
14					− 10 − 6							2					− 13 41													33	− 32		− 5
																												− 23
2.3. 1)	x					y						x					y				3)		x			y				x			y
									2)																				4)
	8y x − 2y											8y x					− 4y						4y x −				4y			4y x + 2y
	5 − 2							x				7						7		− 1		x			8			1	−	1	2		x		2
2.6. 1)	(3					1	)(y )=					(4 )2 )					(1			2		)(y )=			(5 )		3 ) (2		1		− 1 )		y	=	(2 )
2.8. 1) (−74					−35)2)(−74						−35)			3) (53						74 )4 ) (−−						117 )						z
																								85	−−
	23				− 40		1			62			− 102				− 1			− 17			− 14		1
2.9. 1)	19				− 33		1		2)		51		− 84				− 1			3) − 18			− 15		1
					−	35								89									11
	20						1			− 54								1		− 13					1
				1			1			3		1					1 1				1		1
	1				7		22			1 − 8				1				1 1 − 1					− 1
2.10. 1)					−	3 − 3				1		2		2)				1	− 1		1		− 1
	5													4
				−		2 − 7 − 1 3											1		− 1 − 1 1
2.11. 1) (2; 3);									2) (3; -4);									3) (-5; -4);						4) (-3; 1)
2.12. 1) (-14; -46; -13) 2)x=y=z=1 3)x=4/3,y=10/3,z=2/3

100

2.3. Определители и системы линейных уравнений

3.1.1) 1; 2) 1, 3) –1, 4) 2, 5) 0, 6) 0, 7) 1, 8) 1

3.2.1) 1; 2) 1; 3) –1; 4) 2; 5) 0; 6) 0; 7) 1; 8) 1

3.3.1) x=2, y=-5 2) x=3, y=12, 3) x=3, y=-2, 4) x=4, y=12

3.4.1) A11=13, A12=-5, A21=-7, A22=-2; 2) A11=39, A12=-96 , A13=-159, A21=-59, A22=-14, A23=99, A31=-37, A32=38, A33=27

3.5.1) A11=67, A12=58, A13=17, A21=57, A22=96, A23=100, A31=53, A32=7, A33=29

3.6.S1= S2= S3= Z1= Z2= Z3=521

3.7.S12= S13=0

3.8.–61 0

3.10.1) 43; 2) –195; 3) 16; 4) 0

3.11.1)-79; 2) 47; 3) –72; 4) 223

2.4. Использование определителей для вычисления обратной матрицы и решения систем линейных уравнений

4.1. 1) (−− 32		−−	75 ), 2 ) (79	−− 34 ), 3 )		1	(98	53 ), 4 )		1		(54	95 )
						13				11
1				1						1							− 9		1	3	6
						1		5						3		1		5	− 1 − 1		− 2
4.2. 1)	5		4 − 1		− 3							15			− 8
	2 13		12 − 3 2)	17	18	− 6		− 13	3)	10			15	5	− 10 4)	2		4	0	− 2	− 2
	5		− 1 4		− 40 19			27				− 35		− 7 22
																	2		0	0	− 2

4.3. 1) x=1,y=-1, 2) x1=5, x2=-2, x3=8. 3) x1= 5, x2=-2, x1=8. 4) x1=5, x2=-2, x3=-1 4.4. 1) x1=4, x2=3, x3 =5; 2) x1=1, x2=2, x3=3; 3) x1= 5, x2=-2, x1=-1; 4) x1=5, x2=-2, x3=-1

4.5. 1) х=2-а; у=2а+3; при увеличении а х пропорционально убывает, а у увеличивается вдвое быстрее, чем а. 2) х=(17b-19а)/5; y=(9a-7b)/5; 3) x=-(2a+3b)/5; y=(7a+8b)/5

4.6. 1) Если а≠1, то x=a/8(1-a); y=(3-4a)/10(1-a); при a=1 система несовместна.

2)Если а≠1, то x=5a/4(1-a); y=(1-2a)/5(1-a); при a=1 система несовместна.

3)Если а≠1, то x=5a(4-b)/8(1-a); y=(b-4a)/10(1-a); при a=1 и b≠4 система не-

совместна; при a=1и b=4 система имеет бесконечно много решений x=a (1-2c)/4;y=c.

2.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений в общем случае

5.2.	5	3	,	5	2	,	3	7	,	2	7	,2
	5	2		15	9		2	7		9	21

5.3.1) 2. 2) 2. 3) 3

5.4.1) 3; 2) 2; 3) 3

101

5.5.1) ранг=2, если λ=3, ранг=3, если λ≠3; 2) ранг=3 при любом λ

5.6.1) ранг=2; 2) ранг=3; 3) ранг=2

5.7.1) 2; 1 и 2 строки, 1 и 3 столбцы, 2) 2; 1 и 2 строки, 1 и 2 столбцы, 3) 2; 1 и 2 строки, 1 и 2 столбцы; 4) 2; 1 и 2 строки, 1 и 2 столбцы

5.9. 1) x1=2-2c3 +c4+2c5, x2=-1+3c3		-2c4-2c5, x3 =c3, x4=c4; 2)	x1=c1,	x2=c2,
x3=-29/5+17(c1 –c2) ,x4=-16/5	+8(c1	–c2); 3)x1=1-c3-4c4 ,x2=5c3	+7c4,	x3=c3,
x4=c4; 4) система несовместна.
2.6. Координаты на прямой, плоскости и в пространстве
√	6.3. 1) –3/2; 2) 13/4
6.1. 1) 6; 2) 1; 3) 2( 5-1)	6.5. –1,1,3
6.4. –8
6.7. C(-1), D(-11)	6.8. 1) 13; 2) √15
6.10. 5. 6.12. (-1;3), (1;4), (3;5)	6.13. s=0
6.14. C(-10;-7)	6.15. D (16; 12)
6.16. √53; √82; √185	6.17. 96
6.18. 30	6.19. C (2/3; 8/3; 10/3); D (-2/3; 10/3; 14/3)
6.21. 1/2	6.22. M (0;17/8;0)

2.7. Векторы и действия над ними

7.1. AM=(b+λc)/(1+λ) 7.3. m2+m+1

7.6. 1)(-3;2) (3;-2), 2)(-3;4;3) и (2;-3;-1) или любая их линейная комбинация

7.7. –24	7.8. arc cos (17/50)
7.9. λ=4	7.10. 547
7.11. +1/√11 *(i-3j+k)	7.12. 2√17
7.13.(19;14;-13)	7.14.	0
7.15. 33	7.17.	7/6

7.18. указание: найти смешанное произведение векторов, соединяющих любые пары точек

2.8. Прямая на плоскости
8.2. 18	π	π	π
	8.3. 1) /4; 2) 2	/3; 3)	/4
8.4. x+y-1=0	8.5. 3x-2y=0
8.6. 5x-2y=0	8.7. 3x-2y+1=0
8.8. y=5	8.9. t=-2, (-8; 11)
8.10. (-11; -12)	8.11. например, (х+4)/2=(у+3)/3

8.12.A,N,E – в отрицательной полуплоскости

8.13.3x+5y+31=0

8.14.AA1: 7x-6y-3=0,BB1: x+1=0, CC1: x+6y+11=0

8.15.√17(2+ √2)

8.16.x=(4b-5)/2, если y=b

8.17.Всегда пересекаются

8.19.Нормальные вектора (3;-2) и (2;-3) – перпендикулярны

102

2.9. Плоскость и прямая в пространстве

9.1.d=13/√29 а точка лежит в отрицательном полупространстве вместе с началом координат

9.2.d=7 √5/3

9.3.7x-11y –z-15=0

9.4.4x –3y +12z –169=0

9.5.(x-1)/5=(y-1)/(-1)/(z-1)/(-7)

9.6.(0;7;-2)

9.7.x=-1-3t,y=1+6t, z=2+t

9.8.(x-3)/3= (y+1)/(-5)=(z-2)/ (-2)

2.10. Линейные пространства

10.2.Да

10.3.Нет

10.4.При ξ1η2≠ξ2η1

10.6. 1-8×8≠0

10.9.Нет, т.к. линейно зависимы

10.10.– вектора параллельные оси ОХ, -R4 ≡R

10.11.=2, =(1;1;1) и = 3-2=1 – размерность подпространства

10.12.=3; = f1=(-1; 0; 1; 0; 0), f2=(-1;0;0;1;0), ), f3=(0;-1;0;0;2),

f=(-c1-c2, -c3;c1;c2; 2c3)

10.13.Не является

10.14.Скалярная матрица с аii=α, i=1,2,…,n

10.16.A-1 = −01 −01

10.17.λ=-2

10.18. λ1=-1, x=(3;-1) λ2=8 x=(3;2), 2) λ1=3 x=(2;-1) λ2=8 x=(1;2)

103