Раздел 11. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.6. Координаты на прямой, плоскости и в пространстве

2.6.1. Задачи на координатной оси

Точка М с координатой x на оси OX обозначается M (x) . Расстояние d(A,B) между точками A (x1 ) и B (x2 ) координатной оси равно

d(A,B)=		x2 − x1		(6.1)

при любом расположении точек A и B на оси.

Для произвольного отрезка AB на оси абсцисс (A – начало отрезка, B – конец) любая третья точка С на оси делит отрезок AB в некотором от-

ношении λ , где λ = ±			AC			. Знак + выбирается только тогда, когда точка С на-
			CB

ходится между A и B. Если С лежит на оси вне отрезка АВ, то выбирается знак – и λ становится отрицательным.

Пусть координата С равна x , а точек А и В, соответственно, x1 иx2 . Тогда

	x =		x1 + λx2			(6.2)
			1+ λ
	В частности, при λ =1 ,С делит АВ пополам и
	x =	x1 + x2				(6.3)
	2

Пример 6.1. Построить на оси ОХ точки А(2), В(-3), С(0),Д(-3,5), Е( 2 ). Для построения точки А надо два раза отложить единичный отрезок направо от начала координат. Для точки В – утроить единичный отрезок и отложить результат влево от начала координат. Точка С – есть начало координат. Для построения точки D надо поделить единичный отрезок пополам и полученный отрезок отложить влево от точки В. Расстояние точки Е от начала координат равно длине диагонали квадрата с единичной стороной. Поэтому для построения точки Е надо построить единичный квадрат и его диа-

гональ отложить вправо от начала координат.

Пример 6.2. Отрезок АВ пятью точками разделить на шесть равных частей. Найти координаты точки, ближайшей к точке В, если А(-4), В(2).

Пусть С(x) – искомая точка. Тогда λ =

AC

= 5 . Следовательно, по фор-

CB

муле (2) находим x =

−4 +5×2

=

6

=1.

1+5

6

Пример 6.3. Точка С расположена вне отрезка АВ с А(2), В(6). Расстояние от точки С до точки А в три раза больше, чем до точки В. Определить координату точки С. Нарисовать чертеж.

Имеем λ = − BCAC = −3. Поэтому x = 2 1−−33×6 = −−162 =8

59

А В С

X

O

2

6

8

Рис. 2.1. Иллюстрация к примеру 6.3.

Задача 6.1.							Определить расстояние между точками 1) А(2) и N(-4);
		7				4		; 3) A (2 5)
2) B	−			и C	−				и B(2).
						3
		3

Задача 6.2. Убедитесь, что расстояние между точками А(x1 ) и В(x2 )можно записать в виде определителя со столбцами (1, x1 )T и (1, x2 )T .

Задача 6.3. Найти координаты середины отрезка, если его концы: 1)А(-6),

			1
В(3); 2)А(7),С		−		.
			2

Задача 6.4. Найти точку М, симметричную точке К(-3) относительно точки Q(2). Пояснить результат чертежом.

Задача 6.5. Отрезок АВ тремя точками разделить на четыре равные части. Определить координаты всех точек деления , если А(-3), В(5).

Задача 6.6. Точка В находится правее точки А, а С – вне отрезка АВ. Убедитесь, что для всех точек С справа от В значение λ >1, а для всех точек

С слева от В верно λ <1.

Задача 6.7. Даны точки А(-7) и В(-5). Вне отрезка АВ расположены точки С и D, причем CA = BD = 3 AB . Найти координаты точек C и D.

2.6.2. Простейшие задачи на координатной плоскости

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат XOY. Тогда точка M этой плоскости с координатами x и y обозначается M (x, y) .

Расстояние d (M1 , M 2 ) между точками		M1 (x1 , y1 ) и	M 2 (x2 , y2 ) вычисляется
по формуле:
d (M1 , M 2 ) =	(x2 − x1 )2 +( y2 − y1 )2		(6.2.1)
В частности, расстояние точки M (x, y)		от начала координат определяет-
ся по формуле:
d (M ,O) = d =	x2 + y 2		(6.2.2)

Пусть A(x1 , y1 ) и B(x2 , y2 ) – концы отрезка AB. Тогда координаты точки

С(x, y) , которая делит отрезок AB в отношении λ = ± CBAC , определяются ра-

венствами:

x =	x1 + λx2	,	y =	y1 + λy2	(6.2.3)
	1 + λ			1 + λ
			60

В частности, для середины отрезка AB получаем:

	x =	x1 + x2					, y =					y1 + y2			(6.2.4)
												2
				2
	Площадь треугольника с вершинами A(x1 , y1 ) ,														B(x2 , y2 ) и C(x3 , y3 ) вычис-
	ляется по формуле
			1			1	1			1
	S =					x1	x2				x3				(6.2.5)
	2					y	y	2			y	3
						1
	При этом величина площади								S		получается после перестановки местами

любых двух столбцов определителя, что соответствует изменению направлению обхода вершин треугольника.

Пример 6.4. Построить на координатной плоскости точки A(−2;5) , B(−2;3) и определить расстояние между точками А и В.

По формуле (6.2.1) получаем d (A, B) = (−2 + 2)2					+ (5 −3)2		= 22 = 2 .
Пример 6.5. Показать, что треугольник с вершинами A(-5;-5), B(-3;1) и
C(9;-3) – прямоугольный.
Для длин сторон треугольника имеем:
d(AB) =	(−3 +5)2	+ (1 −(−5))2	=	22	+ 62	=	40
d (AC) =	(9 − (−5))2	+ (−3 − (−5))2	=	142	+ 22	=	200

d (BC) = (9 − (−3))2 + (−3 −1)2 = 122 + 42 = 160

Поскольку AB2 = 40 , AC 2 = 200 , BC 2 =160 , выполняется AC 2 = AB2 + BC 2 . Такое равенство справедливо только для прямоугольных треугольников (теорема Пифагора). Следовательно, АС – гипотенуза, АВ и ВС – катеты прямоугольного треугольника.

Пример 6.6. Найти координаты точки С, которая находится внутри отрезка АВ и отстоит от точки А (-4;3) в два раза дальше, чем от точки В (2;15).

Так как

AC

= 2

CB

, то λ =

AC

= 2 . Здесь

x1 = −4 , y1 = 3 , x2 = 2 , y2

=15 . По-

CB

этому

xc = x = − 4 + 2 × 2 = 0 , yc = y =

3 + 2 ×15

=11

1 + 2

1 + 2

Следовательно С (0;11).

Пример 6.7. Точка С(3;4) является серединой отрезка АВ, причем В(9;7).

Найти

координаты точки А.

Здесь x = 3 ,

y = 4 , x1 = 9 , y1 = 7 .

Поэтому

3 =

9 + x

, 4 =

7 + y

, откуда x = −3 ,

y =1. Следовательно А (-3;1).

2

2

61

Пример 6.8. Даны вершины треугольника A(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) и C(x3 , y3 ) . Найти координаты точки пересечения медиан треугольника АВС.

	Пусть D – середина стороны АВ. Тогда ее координаты			xD =	x1 + x2	,
					2
		y1 + y2
yD =			.
	2

Известно, что точка пересечения медиан треугольника делит медиану CD в отношении 2:1, считая от точки С. Следовательно, координаты точки М пересечения медиан определяются по формулам:

x = xM	=	x3 + 2xD	=	x3 + x2 + x1	, y = yM	=	y3 + 2yD	=	y3 + y2 + y1
	1+ 2		3			1+ 2		3

Пример 6.9. Найти площадь треугольника с вершинами А (2;0), В (6;12)

и С (14;6).

По формуле (6.2.5) получаем:

	S =	1		1	1	1	=	1		1	0	0	=	1	(+24	−12 ×12)	=	1	(+24	−144)	=	1	(−120)	= −60
				2	6	14				2	4	12
		2						2						2				2				2
				0	12	6				0	12	6

Следовательно S = 60 .

Задача 6.8. Определить расстояние между точками: 1) А(7;8) и В(-5;3); 2) C( 2;− 7) и D(3 2;0) .

Задача 6.9. Показать, что треугольник с вершинами А(4;-1), В(7;2) и С(2;7) – прямоугольный.

Задача 6.10. Даны вершины треугольника: А(1;1), В(2;-4) и С(-8;0). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

Задача 6.11. Доказать, что треугольник с вершинами А(-1;-1), В(1;2) и С(2;1) – равнобедренный.

Задача 6.12. Отрезок АВ с концами А(-3;2) и В(5;6) разделен на четыре равные части. Определить координаты точек деления.

Задача 6.13. Найти площадь треугольника с вершинами А(1;3), В(2;5) и

С(4;9).

Задача 6.14. Даны две вершины треугольника: А(3;8) и В(10;2) и точка пересечения медиан М(1;1). Найти координаты третьей вершины треугольника.

Задача 6.15. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(10;4), В(-2;-1), С(4;7). Определить координаты четвертой вершины.

Задача 6.16. Даны вершины треугольника: А(8;3), В(2;10) и С(-7;-10). Найти расстояния точки пересечения медиан М от вершин треугольника.

Задача 6.17. Точки D(0;0), E(6;0) и F(0;8) являются серединами сторон треугольника. Вычислить площадь треугольника.

Задача 6.18. Найти периметр треугольника АВС, если А(-2;-3), В(3;-3) и

С(-2;12).

62