2.2.3. Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений

Умножение матриц удобно применять для записи систем линейных алгебраических уравнений.

Пример 2.7. Записать с помощью матричных равенств систему уравнений:

3x + 7 y = 25x + 2 y =13

Обозначим А квадратную матрицу:

3		7
A =
	5	2

В этой матрице первая строчка совпадает с коэффициентами при неизвестных х и у в первом уравнении заданной системы, а вторая строка – с коэффициентами при неизвестных во втором уравнении системы. Поэтому матрица А называется матрицей коэффициентов при неизвестных системы уравнений.

Пусть Х=(х у)т и В=(2 13)т матрицы-столбцы. Говорят, что Х является

столбцом неизвестных, а В – столбцом правых частей исходной системы.

Тогда после умножения А на Х имеем: АХ=(3х+7у 5х+2у)т. Поэтому заданная система уравнений означает систему поэлементных равенств матриц АХ и В, а исходная система уравнений может быть записана в виде одного мат-

ричного уравнения АХ=В. Говорят, что исходная система эквивалентна одному матричному уравнению АХ=В.

Задача 2.6. Используя умножение матриц, записать в матричном виде системы уравнений:

5x − 2 y = 7		7x − y = 8		x − y + 2z = 2
1)	3x + y = 4	2)	+ 2 y = 5	3)
		x		2x + y − z = 2

Таким образом, для того чтобы найти решение исходной системы уравнений, остается решить только одно это матричное уравнение АХ=В

Пример 2.8. Рассмотрим систему двух уравнений 3х+5у=2 и 4х+7у=3 с двумя неизвестными. Для того, чтобы решить эту систему уравнений, надо исключить одно из неизвестных. Например, чтобы исключить неизвестное х, можно умножить первое уравнение на 4, а второе на 3. Тогда коэффициенты при неизвестном х в обоих уравнениях станут одинаковыми. После указанных умножений получим:

12х+20у=8 12х+21у=9.

Теперь, после вычитания первого уравнения из второго, остается: у=1. Подставляя в первое уравнение у=1, имеем: 3х+5=2, откуда 3х=2-5=-3 и, следовательно, х= -1. Таким образом, х= -1, у=1 – решение заданной системы. В матричном виде это решение есть: (х у)=(-1 1), и его можно записать в виде матрицы-строки или матрицы-столбца.

А как можно решать матричное уравнение АХ=В? Для того, чтобы научиться это делать, можно использовать разные приемы, которые сводятся к различным вариантам действий с матрицами.

22

2.2.4.Элементарные преобразования строк матрицы

Вприведенном выше примере 2.8 при исключении неизвестного изменялась система уравнений: изменялись и матрица коэффициентов при неизвестных А, и матрица-столбец правых частей В. Однако, при таких изменениях (преобразованиях) матриц А и В решение системы не изменялось, т.е. системы уравнений оставались эквивалентными, имеющими одинаковые решения. Эквивалентность матриц будем обозначать с помощью символа ~, т.е. А~В. Поэтому вводятся специальные элементарные преобразования матриц.

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются: 1) перестановка строк матрицы;

2) умножение произвольной строки матрицы на любое, отличное от нуля, число;

3) прибавление к любой строке матрицы другой строчки, умноженной на произвольное число.

Последнее преобразование наиболее сложное и полезное для решения систем линейных алгебраических уравнений. Действительно, нетрудно проверить, что при решении системы в приведенном примере использовали последнее элементарное преобразование. Элементарные преобразования полезны не только при отыскании решений систем уравнений. Они позволяют привести матрицу к диагональному виду.

Пример 2.9. Привести матрицу

1		3
A =
	4	7

к диагональному виду с помощью элементарных преобразований строк. После сложения второй строки с умноженной на –4 первой получаем

матрицу

1		3
	0	−5

эквивалентную матрице А.

Теперь прибавим к первой строке вторую строку, умноженную на 3 и деленную на 5. В результате получим:

1		3		1		3		1		0
A =				~				~
	4	7			0	−5			0	−5

Понятно, что в данном случае можно привести матрицу А к единичной матрице. Для этого остается только поделить последнюю строку на –5. Но к единичной матрице можно привести матрицу не всегда: на диагонали могут появляться нули.

Наряду с элементарными преобразованиями строк иногда оказываются полезными и элементарные преобразования столбцов матриц. Они отличаются только тем, что те же действия производятся со столбцами.

Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы связаны с умножением заданной матрицы на матрицы, которые получаются из единичной матрицы. Для того, чтобы убедиться в этом, решите следующую задачу.

23

Задача 2.7. Пусть матрица Е1 получена перестановкой двух строк единичной матрицы. Для произвольной матрицы второго порядка А найти:

1)Е1А; 2) АЕ1.

Врезультате решения этой задачи легко увидеть, что матрица Е1А сов-

падает с матрицей, которая получается после перестановки строк матрицы А, а матрица АЕ1 – с матрицей, которая получается после перестановки столбцов матрицы А. Это свойство имеет место и для произвольных матриц. То же самое верно для умножения строки или столбца матрицы на число, а также для сложения строки матрицы с результатом умножения любой другой строки на произвольное число. Только придется делать соответствующие элементарные преобразования строк единичной матрицы.

2.2.5. Обратная матрица

Элементарные преобразования матрицы дают удобный метод отыскания решения систем линейных алгебраических уравнений. Другой подход для решения этой задачи аналогичен методу решения уравнения ах=в в виде х=в/а или х=ва-1= а-1в. Оно получилось делением уравнения на число а, т.е. умножением уравнения ах=в на обратное число а-1. Обратные числа и появились для решения приведенного выше уравнения. Позже их стали называть дробями. Дробью называется одна доля или собрание нескольких одинаковых долей единицы. Так же можно поступить и с матричным уравнением АХ=В. Ведь можно перемножать матрицы, хотя и не любые.

Обратной матрицей для заданной квадратной матрицы А называется такая матрица, которая после умножения на А дает единичную матрицу Е. Обратная матрица обозначается А-1. Поэтому по определению А-1А=Е. Конечно, АА-1= А-1А=Е, ибо после умножения равенства А-1А=Е на матрицу А слева имеем АА-1А=АЕ=ЕА, т.е. АА-1=Е. Здесь использована перестановочность единичной матрицы с любой матрицей. Остается научиться находить обратную матрицу А-1 для матрицы А.

Пример 2.10. Найти обратную матрицуА-1 для матрицы

7		4
A =
	5	3

Составим новую матрицу (А|Е), присоединив к столбцам матрицы А оба столбца единичной матрицы Е:

	7	4		1	0
	5	3		0	1

C помощью элементарных преобразований строк составленной матрицы приведем ее к виду (Е |С), т.е. приведем матрицу А к единичной. Матрица Е при тех же самых преобразованиях строк преобразуется в матрицу С = А-1. Действительно, совокупность элементарных преобразований, которые привели матрицу А к единичной матрице, есть результат умножения матрицы А на матрицу А-1, так как только обратная матрица после умножения на А дает

24

единичную матрицу. Конечно, при вычислениях нередко появляются ошибки, и, следовательно, необходимо делать проверку полученного результата. Имеем:

	7		4		1	0		2		1		1	−1		2		1		1 −1		0		−1		5	− 7
(A	E ) =	5	3		0	1		~	5	3		0	1		~	1	1		− 2 3		~	1	1		− 2	3

Здесь сначала к первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1. После этого удвоенную полученную первую строку вычли из второй строки, а затем удвоенную вторую строку вычли из первой.

В оставшейся матрице переставим строки, вторую строчку прибавим к первой и, в заключение, умножим вторую строку на -1. Это означает, что:

(A		1	1		− 2 3			1	0		3 − 4
	E)~						~
		0	−1		5 −7			0	1		−5 7

Цель достигнута: матрица Е находится на месте исходной матрицы А. Остается проверить, что матрица, полученная на месте исходной матрицы Е, действительно является матрицей А-1. Для этого умножим А на полученную матрицу. Имеем:

7		4			3 − 4		7		×3	+ 4 ×(−5) 7 ×(−4)	+ 4 ×7		1		0
							=						=
	5	3			−5 7			5	×3	+3×(−5) 5×(−4)	+3×7			0	1

Следовательно, найденная матрица действительно является А-1. Сравнение полученной матрицы А-1 с матрицей А показывает, что

a11−1 = a22 a12−1 = −a12 a21−1 = −a21 a22−1 = a11 ,

где отрицательный верхний индекс –1 указывает, что элемент относится к обратной матрице А-1. Таким образом, элементы главной диагонали матриц А и А-1 связаны между собой точно так же, как числитель и знаменатель дробного числа а11/а22 и обратного ему числа (а11/а22)-1=а22/а11. Иначе изменились элементы на побочной диагонали: они изменили знаки. Хорошо бы, чтобы всегда обратная матрица находилась так просто. Однако это не всегда так. Рассмотрим еще один пример.

Пример 2.11. Найти обратную матрицу А-1 для матрицы:

7		2
A =
	5	3

В этом примере матрица А отличается от матрицы А предыдущего примера только одним элементом. Поэтому вычисления аналогичны и не требуют пояснений:

		7		2		1	0		2		−1			1	−1			2		−1		1	−1		1	5		−2 3
																	~												~
(A	E) =	5		3		0			~					0	1				1	5				~	2	−1
							1		5 3													−2 3						1 −1
1	5		−2				3			1	5	−2					3			1	0		3/11	−		2 /11
	−11		5			−7		~		0	1	−5/11								~	1		−5/11
0																7 /11				0					7 /11

Однако здесь после получения матрицы с элементом второй строки и второго столбца равного –11, возникает существенное отличие: пришлось поделить вторую строку на –11. В результате в матрице появились дробные

25

числа. Последнее преобразование очевидно: вычли умноженную на 5 вторую строку из первой и вычислили элементы третьего и четвертого столбцов первой строки. Получилась новая матрица:

	3/11	− 2 /11			3	− 2
A−1 =				=1/11
	−5 /11	7 /11			−5	7

Множитель 111 здесь вынесен для удобства записи. Легко проверить,

что найденная матрица является обратной для матрицы А, так как выполняется АА-1=Е.

Полученная матрица устроена сложнее, чем обратная матрица в примере 2.10. Однако матрица, которая осталась после того, как из А-1 вынесен знаменатель элементов матрицы А-1 , связана с элементами матрицы А так же, как и раньше.

Задача 2.8. Использовать элементарные преобразования строк матрицы, для того чтобы найти обратные матрицы для матриц:

1)A	3		5		2)A	5		3		3)A	− 4 7				4)A	11		−7
	=					=					=					=			.
1		4	7		2		7	4		3		3	−5		4		−8 5

Заметим здесь, что для всех этих матриц второго порядка и обратных к ним справедливо полезное равенство:

a−1	= λa	22	a−1	= −λa	a−1	= −λa	21	a−1	= λa
11			12	12	21			22	11

Это равенство показывает, что для отыскания обратной матрицы легко находить матрицу, отличающуюся от обратной множителем λ, а затем находить множитель λ.

Присоединенной для матрицы А второго порядка называется матрица

(	a			− a
		22		12
A =	− a		21	a	.
				11

Легко убедиться, что произведение матрицы А и присоединенной к ней

– всегда скалярная матрица. Действительно,

(	a		a				a			−a				a a			−a		a		−a a				+a				a				λ		0	,
AA =		11	a	12				22		a		12		=	11	22	−a	12	a	21	11		12				12				11		=	0
	a	21		22			−a		21		11			a a		22		22		21	a a	22		−a		12		a		21					λ
															21						11

где

λ = a11a22 − a12a 21 .

Таким образом, если число λ = a11a22 − a12 a21 ≠0, обратная матрица А-1 для матрицы А второго порядка получается из присоединенной матрицы делением на это число. Остается только понять, что при λ=0 обратной матрицы не существует, так же как и для числа а=0 нет обратного числа. На нуль делить нельзя.

Матрица второго порядка называется невырожденной, если имеет λ = a11a22 − a12 a21 ≠0 и вырожденной, когда λ=0. Заметим, что элементы обратной матрицы увеличиваются, когда элементы матрицы А изменяются так, что значение числа λ = a11a22 − a12 a21 уменьшается. Это похоже на то, что происходит с обратными числами.

26

2.2.6.Обратная матрица для матриц третьего порядка

иэлементарные преобразования строк

Найдем обратную матрицу для одной матрицы третьего порядка. Пример 2.12. Используя элементарные преобразования строк, найти об-

ратную матрицу для матрицы:

	3	−1	0
	− 2	1
A =			−1
	2	−1	2

и сделать проверку результата.

Присоединяя к А единичную матрицу, как и выше, имеем:

	3	− 1	0		1	0	0
	− 2	1	− 1		0	1
							0
	2	− 1	2		0	0	1

Полученную матрицу с помощью элементарных преобразований строк приведем к матрице вида Е|А1 так же, как для матриц второго порядка. Имеем:

				1			0	− 1			1		1 0			1 0 −						1		1	1		0
( A			E ) ~		− 2 1			− 1												−
											0		1 0		~			0 1				3		2	3		0		~
					0		0	1			0		1 1					0 0			1			0	1		1
	1	0		− 1		1	1	0				1		0	0		1		2	1
	0	1			0	2	6	3		~			0	1	0		2		6	3		= ( E				A 1 )
	0	0			1	0	1	1					0	0	1		0		1	1

Здесь сначала вторую строку прибавили к первой и третьей, затем к третьей строке прибавили первую получившуюся строку, умноженную на 2. После этого ко второй строке прибавили, умноженную на 3 третью строку, и к первой строке тоже прибавили третью строку.

Проверим, что найденная матрица

	1		2	1
A1		2	6	3
	=
		0	1	1

является обратной для матрицы А. Для этого умножим ее на матрицу А. Имеем:

	1	2	1			3	−1	0			3 − 2 × 2 +1× 2 −1 + 2 ×1 −1 0 − 2 + 2					1	0	0
	2	6	3								2 × 3 − 2 × 6 + 6	− 2 + 6 − 3	0 − 6 + 6			0	1	0
						− 2 1 −1				=					=				.
	0	1	1			2	−1	2			0 − 2 + 2	0 +1 −1	0 −1 + 2			0	0	1

Таким образом, убедились, чтоA−1 = A1.

Задача 2.9. Используя элементарные преобразования строк матрицы, найти обратные матрицы и сделать проверку результатов для матриц:

	2	5	−7		5 13 18						−4 3		1
	1	3	−4			3	8	11			5	−4
1)A =					2)A =					3)A =			−1
	−5 5		1			3	−10	−6			3	−5	3

27

Предостережение. При выполнении элементарных преобразований надо тщательно проверять отдельные вычисления и их результаты.

Задача 2.10. С помощью элементарных преобразований строк матрицы найти обратные матрицы и проверить результаты для матриц:

1		0	− 2 1			1 1		1	1
	0	1	1	− 2				−1
						1 1			−1 .
1)	1	−1 0		1		2)	−1 1
						1			−1
	1	2	1	− 2			−1	−1 1
						1

2.2.7.Решение систем линейных алгебраических уравнений

спомощью обратной матрицы

Вернемся к матричному уравнению АХ=В, которое привело к введению обратной матрицы А-1 для матрицы коэффициентов при неизвестных А системы линейных алгебраических уравнений. Пусть матрица А-1 найдена. Тогда так же, как и для одного уравнения ах=в, можно умножить уравнение АХ=В на А-1. Только теперь необходимо умножить на А-1слева. После умножения получим: А-1АХ= А-1В. Но матрица А-1 является обратной для матрицы А, и в левой части имеем: А-1АХ=ЕХ=Х. Следовательно, Х= А-1В.

Таким образом, для того, чтобы найти решение системы линейных алгебраических уравнений, можно воспользоваться формулой:

Х= А-1В

Значит надо найти обратную матрицу А-1 для матрицы А коэффициентов при неизвестных исходной системы и умножить справа матрицу А-1 на столбец правых частей В. Так удобно делать, когда надо найти решения нескольких систем, которые отличаются только правыми частями, поскольку для всех них обратная матрица А-1 одна и та же.

Пример 2.13. С помощью обратной матрицы найти решение системы уравнений

7x + 4y =195x + 3y =14

и проверить результат.

Легко проверить, что матрица коэффициентов при неизвестных для этой системы уравнений совпадает с матрицей А из примера 2.9. Найденная там обратная матрица:

3		− 4
A−1 =			.
	−5	7

Поэтому остается только выписать матричные обозначения столбца неизвестных и правых частей системы уравнений:

	x		B =		19
	X =
и вычислить	y				14
	3 −4		19			57 −56		1
X = A−1B =					=		=
	−5 7
			14			−95 +98		3

28