2. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Предисловие

Учебное пособие предназначено для студентов нематематических и нетехнических специальностей. Его основная цель – познакомить с основными понятиями и методами линейной алгебры и аналитической геометрии, научить пользоваться ими. Одновременно студентам показывается тесная связь методов и представлений математики с потребностью осмысливания различных явлений и поведения людей. Возможно, это единство заняло важное, если не решающее, место в предлагаемом пособием изложении математических идей. Такой подход может приобщить «гуманитариев» к приобретению полезной привычки – думать, критически осознавать результаты своих действий, – дать им возможность почувствовать свои собственные математические способности. Безусловно, такой подход мешает строгости и полноте изложения, однако для большинства студентов они остаются неясными всегда.

Пособие состоит из двух разделов. В первом разделе рассматриваются матрицы, определители, ранги, их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений. Этот раздел содержит много пояснений и выкладок, нередко повторяются ключевые понятия, термины и идеи, приводятся детали выкладок. Особое внимание уделяется проверке результатов. Рекомендуется после решения каждой задачи попытаться самостоятельно проверить результат, осмыслить его, еще раз решить задачу, лучше всего другим способом. Независимо от того, совпали результаты или нет, полезно заглянуть в ответ, хотя и в ответе возможны неточности. По нашему мне-

нию, привычка проверять должна породить желание постоянно контролировать, анализировать и обдумывать свои действия. А заодно и действия других людей. Приобрести такую потребность, несомненно, полезно для всех людей и, особенно, для менеджеров и бизнесменов. Ибо им всегда необходимо заранее представлять возможные результаты собственных действий и способы их контроля. Изложение ведется на примерах и задачах. Доказательства утверждений не приводятся, хотя в первой части даются рассуждения, полезные для их понимания.

Во втором разделе речь идет об аналитической геометрии, ее связях с алгеброй. Подчеркивается наглядность геометрических задач, возможность их записи и решения средствами матриц, определителей и рангов. Вводимые понятия иллюстрируются на примерах. Приведено много задач для самостоятельного решения. Предполагается, что знаний, приобретенных при изучении первого раздела, достаточно для понимания текста, разбора примеров и решения задач из второго раздела.

При написании пособия использована литература, указанная в библиографии. Выражаю признательность Т.Д. Морозовской и С.В. Поповой за помощь в подготовке рукописи для опубликования и сделанные замечания. Особую благодарность выражаю К.К. Тай и Ю.М. Урману за стимулирующие обсуждения и полезную критику, которые сделали возможным написание рукописи пособия.

9

РАЗДЕЛ 10. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 2.1. Понятие матрицы. Основная терминология

2.1.1. Матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел или элементов любой другой природы.

Вматрицах, как и в любых прямоугольных таблицах, различают строки

истолбцы. Поэтому говорят, что матрица состоит из строк и столбцов. Строки матриц нумеруются сверху вниз, начиная с первой, а столбцы – слева направо, также начиная с первого.

Все строки и столбцы состоят из элементов. Каждый элемент матрицы определяется номером его строки и номером столбца, в которых находится элемент. Номера строки и столбца элемента называют местами элемента в матрице.

Пример 1.1. Таблица чисел

−4		9	8	11	−7
	15	−61	9	10	8
A =
	−3	2	−12	7	5

образует матрицу, которая имеет 3 строки и 5 столбцов. В этой матрице число 10 – элемент 2 строки и 4 столбца матрицы.

Пример 1.2. Таблица

−34		a	1
B =
	0	7
			− a

также образует матрицу. Она имеет две строки и три столбца. Элементами первой строки второго столбца и второй строки третьего столбца могут быть произвольные положительные, отрицательные, дробные, иррациональные и даже трансцендентные числа равные значению числа a и –а, соответственно.

Пример 1.3. Таблица

− 4 7		1
B =
	0	−5

не образует матрицы, так как во второй ее строке меньше элементов, чем в первой.

Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами А, В, С, Х, У,… или такими же буквами с индексами А1, А2,…Все элементы матриц записываются с помощью двух индексов b3k, а12, аij,bik,cij. Первый индекс всегда указывает номер строки, в которой находится элемент в матрице, а второй – номер столбца. Индексы обозначаются малыми латинскими или греческими буквами. Так, а12 указывает элемент на пересечении первой строки и второго столбца матрицы А. Элемент i-й строки и j-го столбца матрицы С обозначается cij.. Совпадение индексов элементов аij и cij матриц А и С означает, что эти элементы находятся в одинаковых строчках и столбцах матриц

Аи С. Такие элементы называются соответствующими элементами матриц

Аи С или просто соответствующими элементами. Элементы а1к при всех

10

возможных значениях k=1,2,…,n обозначают все элементы первой строки матрицы А.

Задача 1.1. Выпишите все элементы матрицы

−14		−7	10
B =
	12	−3	−5

с их индексами. Насколько отличаются элементы b13 иb21 в этой матрице? Найдите сумму мест элемента b21 в этой матрице. Чему равна сумма мест элемента b21 в любой матрице?

Произвольную матрицу записывают:

a		a		a		...	a
	11		12		13			1n
a21		a22		a23		...	a2 n
a	31	a	32	a	33	...	a
						...		3n
...		...		...			...
		am 2		am3		...
am1							amn

или сокращенно А=(аij) i=1,2,…,m; j= 1,2, …,n. Здесь m – число строк, n- число столбцов матрицы.

Матрицу, которая содержит m строк и n столбцов, называют матрицей размера m×n.

Задача 1.2. Приведите примеры матриц размерами: 1)1×5; 2) 2×4; 3) 1×1; 4) 3×3; 5) 4×1; 6) 2×2. Из каких соображений можно находить элементы матриц?

2.1.2. Виды матриц

Матрица называется прямоугольной, если число строк в ней не равно числу столбцов. Формально это значит, что в размере m×n прямоугольной матрицы m ≠ n. Матрицы с одинаковым числом строк и столбцов называются квадратными. Число строк и столбцов в квадратных матрицах называется порядком матрицы. Таким образом, квадратные матрицы порядка n имеют размер n×n, хотя обычно говорят только о порядке квадратных матриц.

Матрицы с одной строкой называются матрицами-строками, а матри-

цы с одним столбцом – матрицами-столбцами.

Задача 1.3. Укажите, какие из матриц, построенных в задаче 1.2, являются квадратными, а какие матрицами-строками, матрицами-столбцами или прямоугольными матрицами. Запишите общий вид размера матрицы строки и матрицы-столбца.

Задача 1.4. Запишите общий вид матриц 2, 3 и 4 порядков.

В квадратных матрицах А, порядка n, выделяют диагональ матрицы – совокупность элементов а11,а22,…,аnn. Ее называют главной диагональю матрицы, в отличие от побочной диагонали матрицы, составленной из элементов

а1n,а2n-1,…,аn1.

Задача 1.5. Является ли диагональ матрицы сама матрицей-строкой или матрицей столбцом?

11

Задача 1.6. В каких матрицах главная и побочная диагонали имеют общий элемент?

Матрица A порядка n называется диагональной, если все ее элементы, которые находятся не на главной диагонали, равны нулю. В таких матрицах aij=0, при всех i ≠ j. Диагональные матрицы, имеющие aii=c, при всех i=1,2,…,n называются скалярными. Если в скалярной матрице aii=1, то матрица называется единичной. Если в матрице все ее элементы равны нулю, то матрица называется нулевой. Единичная матрица обычно обозначается Е, а нулевая – О.

Задача 1.7. Выпишите единичную матрицу третьего порядка. Задача 1.8. Определите вид заданной матрицы.

25			−7 8				4 9 −5					−13 9						0		−6 −8 9
			31 −4														−4 1				3	−2
1) 6							2)									3)
								3	−7 0				5
			−3 5											−8				5		−2 7 11
−18							1	0	0			−3
1		0 0												10 0				0			7	0	0
	0	1 0					0	1	0			3			0 3			0			0	7	0
4)					5)						6)			7)						8)
	0	0 0					0	0	1			9			0 0			0			0	0	7

Задача 1.9. В чем состоит общность и различие матриц размеров 1×2 и 2×1 с простыми дробями?

2.1.3. Равенство матриц

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размеры и для всех элементов выполняются равенства aij= bij, где i=1,2,..,m; j =1,2,…,n.

Пример 1.4. Равенство матриц-строк

(x y)= (3 − 4)

означает, что х=3 и у = -4.

Легко проверить, что матричное равенство (2х+3у 7х+10у)=(3 11) определяет систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными х и у. Решение этой системы можно записать с помощью матричного равенства (х у) = (3 -1). Действительно, после подстановки значений х=3 и у = -1 имеем

2х+3у=2×3+3× (-1)=6-3=3 и 7х+10у=7×3+10× (-1)=11.

Поэтому с помощью матриц-строк удобно записывать системы линейных алгебраических уравнений и решения таких систем уравнений.

Равенство двух матриц означает, что обе матрицы имеют одинаковые размеры и все соответствующие элементы в обеих матрицах равны. Можно сказать, что матричное равенство означает систему поэлементных равенств, т.е. эквивалентно системе поэлементных равенств всех соответствующих элементов матриц.

Задача 1.10. Записать систему линейных алгебраических уравнений

2x +3y = 3

7x +10 y =11

и ее решение с помощью матриц-столбцов.

12