3. Контроль знаний

Контрольная работа №3

Задание №1. Убедитесь, что произведение трех матриц удовлетворяет равенству (АВ)С=А(ВС):

		вариант 1						вариант 2						вариант 3						вариант 4						вариант 5
A		−1 3 4						− 2 5 0						− 4 1		2				1 3 6						2 − 5 3
		5 9 0						3	2 9					1	3 − 5					− 3 9 − 5						4	7	− 5
		− 4 1 7						5 − 3 1						− 2 9		6				− 7 1 6						− 3 6		2
		3	2 −1					3	4 2					− 5 2 7						2 4 − 5						5 − 2 3
B	3 4 7 −1						0 5 1 − 4						1 6 9 0							0 1 4 −3						4 1 5 2
								7 1 3 1						− 7 5 0 4						3 2 5 −1
	8 2 −3 1																									3 6 4 0
								3 4 1 5						6 3 2 1						9 4 1 1						2 0 −3 7
	0 1 5 2
C		− 7	5					6	− 7					1	− 2					2	9					3	− 5
		1	− 6					− 5 − 4						− 3 − 7						− 7 − 3						− 4 − 1
		4	− 3					0	− 1					3	5					4	− 1					6	9
		− 2	9					− 3	8					− 4	3					− 5 − 2						− 3 − 3

		вариант 6						вариант 7					вариант 8						вариант 9					вариант 10
A		0 − 3			1			− 4	3	2			4	1 − 3				1 − 5 4						3	− 3	4
		1	4		2			3	2 −5				3	3 − 5				5 − 6 1						− 5	1	9
		4 11 − 7						5 −3 1					−1 9		2			−	4 1		3			6	1
																										− 4
		1 − 9			4			− 4 −3 2					− 6 2 7					−	2 9 −8					− 4	7	1
B		2 3 5 1						1 6 2		−3			0 3 1 2					3		−2 3 1				5 11 2 5
		7 4 −						1 0 1 2																4 1 7 0
				1 6									−1 4 0 3					0 3 6 5
		5 2 −																						1 2 3 6
				3 2				2 3 3 −3					2 4 3 1					7 −4 2 1
C		2	5					10	− 9				3	− 4				3		10				4	− 3
		− 8 − 17						− 7 − 4					− 5 − 7					−	7 − 2					− 3	0
		− 3	−	7				− 3 − 1					1	8				5		0				7	8
		3	7					− 2	5				− 3 − 2					−		4 − 1				3	− 4

Задание №2. Вычислить определитель двумя способами, используя: 1) разложение по строкам; 2) предварительные элементарные преобразования для образования нулей.

		вариант 1									вариант 2							вариант 3								вариант 4											вариант 5
	3	− 8 3		1						6	1	8	5				1 5			8 3					−8 1 −1 3										3		1	8	5
	1	2 1		5						2	1	5	5				4 3			6 5					2	− 2 9 1									2		2	5	5
	5	− 8 7		9						1	6	7	− 2				11 6			4 1					3	−1 2 3									1		8	7	− 2
	1	− 3 0		1						0	5	2	− 2				−1 4 9 5								1	1	−7 2								0		5	2	− 2
																										вариант 9
		вариант 6									вариант 7							вариант 8																			вариант 10
	2	1	8		5				1		1	2	4				2	1	8	5					1	7	8	3								3	0	4	5
	3	− 2 5			5				10 6			− 3 3					6	1	4	5					4	6	6	5								2	1	5	4
	1	− 8 6			2				5		5	2 9					1	6	7	− 2					2	6	4	2								1	6	7	3
	0	5 2			2				7		3	− 8 2					2	0	2	3					− 1 4 9			5								0	5	3	2

95

Задание №3. Найти матрицу обратную заданной матрице A и проверить результат:

	вариант 1			вариант 2			вариант 3			вариант 4		вариант 5
6	5	2	1	3	9	9	7	3	2	3	5	1	2	4
11 9		2	−1 −4 8			14 9		4	5	6	11	4	5	3
4	5	2	1	3	7	0	3	2	4	2	7	5	7	6

	вариант 6				вариант 7			вариант 8				вариант 9			вариант 10
2	7 1		1		8	4	3		2	4	2		7	− 2	3	1	5
3	10	2		− 3 5		3		− 5 1		− 7		− 3 4		5	1	3	−1
5	17	5		2	13 7			2	−1 3			2	1	− 3	2	3	2

Задание №4. Используя правило Крамера, найти решение систем уравнений и проверить результат:

вариант 1

вариант 2

вариант 3

x

+2x −x +

2x

= 2

2x

+x +

2x

+

4x

= −2

2x

−x −3x

+x

=−1

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

2x1 +3x2 −x3 +4x4 =3

x1 +3x2 −3x3 +x4 =6

7x1 −4x2 +x3 −5x4 =−32

−3x3 +8x4 =6

3x1 −2x2 +x3 −x4 =16

x1 −2x2 −2x3 +3x4 =5

4x1 +5x2

2x

+3x

−2x +3x

=3

2x −x

+x

=

8

x

−x

+x

−

2x =−8

1

2

3

4

1

2

3

1

2

3

4

вариант 4

вариант 5

вариант 6

2x

+

3x

+5x

+11x

=−2

5x

−4x

2

−3x

3

+ x

4

= 2

2x

+5x − x

+ 4x

= 4

1

2

3

4

1

1

2

3

4

x1 + x2 +2x3 +5x4 =−1

4x1 −2x2 + x3 +2x4 = 3

3x1 − x2 + 2x3 − x4 = −13

2x

+ x

+2x

+3x

=3

6x1 −4x2 + x3 = −1

x1 + 4x2 + x3 − 2x4 = −1

1

2

3

4

x

+ x

+4x

+3x

=3

2x

−3x

−3x

+3x

=1

x1 −9x2 + 2x4 = −11

2

3

4

1

2

3

4

1

вариант 7

вариант 8

вариант 9

2x

− x −6x

− x

=1

5x +3x

2

+ x

+ x

4

= 2

2x1 +3x2 +5x4 = −2

7x

1

2

3

4

1

3

x + x

− 4x

− 2x

= −1

−

4x

+2x

+5x

= 32

+2x

+3x

− x

= −3

2

3

4

1

2

3

4

2x

2

4

1

1

3

x1 +2x2

−4x3 −3x4 = −5

3x +

2x

+

4x

= 0

2

2x1 + x2 −3x3 + x4 = −1

1

3

x

− x +2x

+2x

= 8

4x +2x

+ x

− x

− x1 + x2 + x3 + x4 =1

=1

1

2

3

4

2

4

1

3

вариант 10

x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 2

3x1 + 3x2 − 2x4 = 0

2x1 + 5x2 + 3x3 − 2x4 = 1

2x1 + x2

− 4x3 + x4 = 3

Задание №5. Найти вектор b , который является линейной комбинацией заданных векторов a1 , a2 , a3 , a4 с заданными числовыми коэффициентами

k1,k2 ,k3,k4 , если:

96

	a1	a2	a3	a4	k1	k2	k3	k4
вариант 1	(1,7,-5,-8)	(4,-5,9,-2)	(8,5,-7,-10)	(2,-4,1,-5)	-4	9	3	-2
вариант 2	(-2,4,5,-3)	(-12,3,1,6)	(7,2,-9,-1)	(0,2,7,-12)	1	5	-6	2
вариант 3	(-2,3,7,3)	(-3,4,7,0)	(2,5,7,-11)	(3,-3, 0,1)	0	3	8	2
вариант 4	(7,8,-3,-1)	(7,3,12,8)	(-3,5,8,-1)	(2,1,9,0)	7	4	-3	-2
вариант 5	(9,5,-4,0)	(6,9,2,-5)	(-1,6,9,-5)	(0,7,-5,-4)	9	5	1	-4
вариант 6	(8,-13,5,2)	(7,2,-5,-1)	(3,8,-1,-10)	(4,8,-2,0)	6	9	2	1
вариант 7	(1,3,-5,8)	(6,7,-3,-1)	(-4,1,5,-14)	(-2,7,3,-1)	2	0	6	1
вариант 8	(9,-4,-1,2)	(6,1,-2,-5)	(7,-3,-6,1)	(0,7,-2,4)	3	5	1	-4
вариант 9	(2,7,-4,-8)	(2,5,-6,8)	(1,6,-3,-2)	(-7,3,9,6)	4	-2	7	-3
вариант 10	(-5,3,-8,6)	(3,8,9,-5)	(6,9,1,-5)	(6,-6,-4,1)	4	0	7	-3

Контрольная работа № 4

Задание №1. Определить ранг матрицы, используя приведение ее к ступенчатому виду:

		вариант 1									вариант 2									вариант 3
−7 3 6 9 2 −7									5 12 4 9 7						2		4 2 3 4					−2 8
	2	5 8 −4			1	−4				4 8 5 7 2					−6			2 7		−5 7
																						6 −5
−19		11	26	23	7	−25			19		44	17	34	23	0		14		13	4	19	0	19
	−1	18	30	−3	5	−19					28	14	23	11					23	−12	25	16
									13						−10		10						−7
		вариант 4									вариант 5									вариант 6
8 −5 2 −9						−1			6 −4 3 −8						−1		7 0 11 3					−7	−5
	1	−2 8 12 4								1	−3 2 −5				3			3	4	−5 2
																						−4 −3
17		−12	12	−6		7			19		−15	11		−29	0		17		4	17	8	−18	−13
	11	−11 26 27 11								3 5 −3 7									−4 27 4
															−10		11					−10 −7
		вариант 7									вариант 8									вариант 9
2 6 −3 −11						−4			5		2		6 −1		−7		−5 7 3 1					−6 9
	3 8 −3				7	11				1	−3 4 2				5			2 8
																				−3 7 2 1
	9	26	−12	−26		−1			16		3	22		−1	−16			13	29	6	10	−16 28
						−9				8	−7 18 5				8			1 31
13 38 −18 − 48																				−6 22 0 12
		вариант 10
1 2 1 −5 −7						−9
		−5	7 9		2		1
−4
	−1 1 10 −6 −19					−26
		−8 15 13 −3
−7						−7

Задание №2.		Проверить,		что вектора		a1 , a2 , a3 , a4 образуют базис четы-
рехмерного пространства и найти координаты вектора b								в этом базисе:
	1		2		3		4		5

97

a1	(-2,-4,2,1)	(4,1,3,0)	(2,4,6,0)	(0,1,2,3)	(4,1,1,0)
а2	(1,-1,-2,-1)	(-1,1,0,2)	(3,-1,0,3)	(2,0,-1,-4)	(0,2,-2,3)
а3	(1,-3,-1,1)	(0,-1,-1,-1)	(-1,0,-1,-2)	(3,-4,0,-11)	(3,0,1,1)
а4	(-1,5,2,-4)	(-2,-2,-6,-7)	(0,-3,-2,-1)	(-1,-1,-4,0)	(2,1,0,2)
в	(0,-2,3,1)	(2,4,0,1)	(1,2,3,0)	(3,2,0,1)	(2,1,0,-3)
				9
	6	7	8		10
a1	(4,0,3,1)	(2,0,1,1)	(3,2,0,1)	(2,3,1,1)	(5,1,1,1)
а2	(3,4,0,2)	(-1,2,3,0)	(-3,-1,1,-1)	(1,4,0,2)	(-2,-4,-3,1)
а3	(-1,1,-1,0)	(3,1,0,8)	(0,-2,-1,-1)	(0,0,2,1)	(2,-1,1,-1)
а4	(0,-1,-5,3)	(0,-1,-2,-1)	(1,7,1,0)	(1,3,3,1)	(2,1,1,0)
в	(2,-1,3,0)	(0,3,1,4)	(3,2,1,0)	(3,2,0,1)	(0,1,-2,35)

Систему линейных уравнений для нахождения координат вектора b в базисе (a1 , a2 , a3 , a4 ) решить методом Гаусса (последовательного исключения

неизвестных).

Задание №3. Исследовать совместность системы уравнений и найти ее общее решение:

			вариант 1																					вариант 2
	5x	+3x		2	+ x			3	+ x			4	+ x			5	= 2		x	−	2x		2	+ 3x		3		− x		4		− x		5		= 2
	1																		1
2x1 + 2x2 +3x3 − x4 −2x5 = −3																			3x1 + 3x2 − 2x4 + 3x5 = 0
	3x		+ 2x		2	+ 4x				3	+3x				5	= 0		2x		+	5x		2	+ 3x			3	− 2x				4	− x			5	=1
	1																		1
	4x + 2x					2	+ x			3	− x			4	=1				2x	+ x		2		− 4x	3			+ x	4		− 4x				5		= 3
			1																1

вариант 3

вариант 4

2 x1 + x2 + x3 + 2 x4 − x5 = 3

3x1 − x2 + x3 + 4 x4 − 3x5 = 3

x1 + 2 x2 + x3 − 3x4 = −5

− 2x2

− 3x3 + x4 + x5

= 5

4 x1

= 2

2 x1 − x2 + 2 x3 + x4 = −1

3x1 + x2 − x3 + 4 x4 + x5

x

1

+ x

2

+ x

3

+ 3x

4

+

3x

5

= 0

− 2 x2

− x3 − x4 − 4x5

= 0

3x1

вариант 5

вариант 6

3x

+ x

2

− x

3

+ 3x

4

− x

5

= 4

2x

+ 3x

2

+ 5x

4

+ x

5

= −2

1

1

2x1 − 4x

2 + x3 + x4 + 4x5 =1

x1

+ x2 − 4 x3 − 2 x4 − 5x5

= −1

3x2 + x3 + x4 − 7x5 = 0

= −1

2x1 + x2 − 3x3 + x4 − 2x5

x

− 4x

+ x

+ x

− x

= −3

− x

+ x

2

+ x

3

+ x

4

− x

5

= 1

2

3

4

5

1

1

				вариант 7																				вариант 8
	4x − x			2			− 2x		4			+ 4x				5	= 2		−2x				+ x			2		+ x		3	− x				4	=			0
	1																				1
x1 + x2 − x3 − 2x4 −3x5 = 4																		−4x1 − x −3x3 +5x4 +3x5 = −2
	3x		− x		3			−6x		4			+ x	5			= 0		2x	−2x			2	− x				3	+	2x			4	− x				5	= 3
	1																		1
	2x	2	− x			3		−7x			4		− x		5		=1		x	− x	2	+ x			3		−4x				4	+2x					5		=1
																			1
			вариант 9																		вариант 10

98

− 2x1 +3x2 − x3 + 4x5 =1

2x2 +3x3 − x4 −3x5

= 3

4x1 − x2 −3x4 −3x5 = 2

x1 − 4x3 − x4 + 2x5 = 2

6x

− x

3

− 2x

4

− x

5

= 3

2x

− x

2

− 4x

4

− 4x

5

= 0

1

1

3x

2

− 2x

3

− x

4

+ x

5

= 0

3x

− 4x

2

−11x

3

+ x

5

=1

1

Проверить полученное общее решение. Представить его в матричной форме в виде суммы частного решения системы линейных неоднородных уравнений и общего решения соответствующей системы однородных уравнений.

Задание №4. Привести пример системы трех линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными, определяющими на координатной плоскости прямые, на которых лежат три стороны некоторого треугольника АВС. Найти координаты вершин треугольника и условие, которому удовлетворяют все точки, лежащие внутри треугольника АВС. Геометрически проиллюстрировать решение задачи, сделав на плоскости чертеж треугольника АВС.

Задание №5. Найти значение параметра D1, при котором прямая

A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 0

A2 x + B2 y +C2 z + 6 = 0

пересекает ось ОХ и определить координаты точки их пересечения. Найти также координаты точки пересечения этой прямой с перпендикулярной к ней плоскостью, если плоскость проходит через точку M(x1 ,y1 ,z1), и

	A1 B1 C1	A2 B2 C2	x1 y1 z1
вариант 1	(1,1,-1)	(2,1,2)	(0,0,1)
вариант 2	(1,2,-1)	(2,1,3)	(0,1,-1)
вариант 3	(1,2,-1)	(2,1,5)	(0,1,-1)
вариант 4	(1,0,-1)	(2,1,4)	(-1,1,1)
вариант 5	(1,-1,-1)	(2,2,3)	(2,1,1)
вариант 6	(3,2,1)	(3,1,3)	(2,1,-1)
вариант 7	(1,4,-1)	(2,-2,3)	(1,1,-1)
вариант 8	(-1,2,-1)	(2,0,3)	(1,1,-1)
вариант 9	(1,2,1)	(-1,1,3)	(0,1,-2)
вариант 10	(1,3,-1)	(2,-1,3)	(0,1,1)

99