2.1.4. Линейные действия над матрицами

Если в матрице А размера m×n переставить строки со столбцами местами, то получим матрицу, которая имеет размер n×m. Полученная после перестановки матрица называется транспонированной для исходной матрицы А и обозначается Ат или А′.

Пример 1.5. Транспонируйте матрицу:
	0	− 6	−8	9
	− 4	1	3	− 2
	5	− 2	7	11

При транспонировании первая строка матрицы А превращается в столбец, т.е. строка (0 -6 -8 9) становится столбцом (0 -6 -8 9)т. То же самое происходит и с другими строчками. В результате получаем:

		0		− 4	5
			− 6	1	− 2
A	t
		=	−8	3	7
			9	− 2	11

Приведенный пример показывает, что транспонирование матрицы отражает произвол записи имеющихся данных по строкам или столбцам.

Задача 1.11. Что получится после транспонирования матрицы-столбца? Задача 1.12. При каких условиях верно А=Ат для матриц 2 и 3 порядков?

Как записать это условие для матриц: 1) квадратных; 2) прямоугольных? Суммой матриц А и В одинаковых размеров называют новую матрицу

того же размера, все элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Сумма матриц А и В обозначается А+В.

Пример 1.6. Найти сумму матриц:

	20 −3		5			−3 6		9
	−16	1	− 2			4	2	0
A =	−31 7		−6		B =	9	5	−8
	3	− 21 17				7	−5 3

Прежде всего заметим, что матрицы А и В действительно можно сложить, так как они имеют одинаковые размеры.

После сложения получаем:

20 −3 −3 + 6			5 + 9		17		3	14
	−16 + 4	1 + 2	− 2 + 0			−12	3	− 2
A + B =	−31 +9	7 +5	− 6 + (−8)		=	− 22 12		−14	.
	3 + 7	− 21 −5	17 + 3			10	− 26 20

Задача 1.13. Записать общий вид элементов матрицы С=А+В.

13

Задача 1.14. Сложить матрицы А и В, если:

− 2		9	6		−9
	7	−3	8			4
1)A =	4	5	7		B =	3
	− 2	1	0			3

−6	3
0	−5
2	8
7	−5

− 4		9	8	11 −7			9 −6		0	4 −12
	15	−61 9		−10 8				15 −7	8	−5 13
2)A =							B =				.
	−3	2	−12 7		5			−7 9 31 52 19

Задача 1.15. Убедитесь, что для матриц одинакового размера справедливы равенства:

А+В=В+А, А+В+С=(А+В)+С=А+(В+С), А+О=А.

Первое равенство здесь называется перестановочным свойством сложения матриц, второе – сочетательным свойством сложения матриц. Все эти свойства сложения матриц совпадают с обычными свойствами сложения чисел.

Из определения сложения матриц следует, что для любой матрицы А существует такая матрица В, что А+В=О. Такую матрицу В обозначают -А, так как все ее элементы отличаются знаком от соответствующих элементов матрицы А, т.е. получаются умножением на –1.

Произведением матрицы А на число λ называется матрица, каждый элемент которой получается умножением соответствующего элемента матрицы А на число λ. Матрица, которая получается после умножения матрицы А на число λ обозначается λA. Таким образом,

a

a ...

a

λa

λa

...

λa

11

12

1n

11

12

1n

a21

a22 ...

a2n

λa21

λa22

...

λa2n

λ

=

...

...

... ... ... ...

...

...

an2 ...

ann

λan1

λan2

...

an1

λann

Пример 1.7. Умножим матрицу А на число –2, если:

42

− 3

5

− 4

−12 1/ 3 − 4 − 3

A =

− 66

14

−12

− 6

− 40

34

3 / 2

− 8

В результате умножения каждого элемента матрицы А на –2 получаем

матрицу:

−84

6

−10

8

24

− 2 / 3

8

6

− 2A =

132

− 28

24

12

−3

80

−68

16

Задача 1.16. Найти матрицу 5А, если:

−6

5

9

A =

8

3

−11

14

Задача 1.17. Найти матрицу 3А - 4В, если:

−7		51	2		−12 13		21
A =					B =			.
	3	4	−10			−9 5	−16

Если заданы две матрицы А и В одинакового размера и произвольные числа λ и µ, то матрица λ А + µ В называется линейной комбинацией матриц А и В с коэффициентами (весами) λ и µ.

Пример1.8. Найти линейную комбинацию матриц 7А – 2В, если:

−5		6	−37		23
A =			B =
	− 4			− 25	−15
		−3

Матрицы А и В имеют одинаковые размеры. Поэтому из них можно получить линейную комбинацию с произвольными коэффициентами (весами) λ и µ, в частности с λ =7 и µ = -2.

Для отыскания линейной комбинации вычислим сначала матрицы:

−35		42	74		− 46
7 A =			− 2B =
	− 28			50	30
		− 21

Теперь, складывая полученные матрицы, находим:

−35 + 74			42 − 46		39		− 4
7 A − 2B =					=
	− 28	+50	− 21 +30			22	9

Задача 1.18. Найти линейные комбинации матриц

− 3		7	−13		13	− 21 6
A =	− 8	,	B =	−12	,	C =	− 32	− 7
		− 5			− 5

с коэффициентами (весами): 1)–5; 3 и –4 2) –3,2; 2 и 3.

2.1.5. Линейная зависимость и независимость

Пусть даны три матрицы А, В и С. Возникает вопрос. При каком условии хотя бы одна из этих матриц является линейной комбинацией остальных? Конечно, ответ на этот вопрос интересен и для произвольного числа заданных матриц при условии, что все они имеют одинаковые размеры.

Пример 1.9. Пусть даны три матрицы

3	4	8	13				2 5
A =		B =	− 5		C =
8	− 5	4				−12 5
Легко убедиться,	что	для этих		матриц			верно В=2А+С, С=В-2А,

А=(В-С)/2. Следовательно, любая из заданных матриц является линейной комбинацией остальных. Говорят, что каждая из них линейно выражается через остальные. Можно сказать и иначе: для матриц А, В, С существуют такие три числа λ1, λ2, λ3 , что справедливо равенство:

λ1А+λ2В+λ3С=0.

Соответствующее общее свойство для произвольного числа матриц одинакового размера называется линейной зависимостью. Вводят следующее определение.

15

Матрицы А1,А2,А3,…,Ак называются линейно зависимыми, если сущест-

вует такой набор чисел λ1, λ2, λ3,…,λк, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что

А1λ1+ А2λ2+ А3λ3+…+Акλк=0

Это определение означает, что матрицы А1,А2,А3,…,Ак линейно зависимы только тогда, когда хотя бы одна из них линейно выражается через остальные.

Заметим, что в правой части последнего равенства записана нулевая матрица того же размера, что и матрицы А1,А2,А3,…,Ак. Поэтому по определению равенства матриц в условии линейной зависимости столько равенств, сколько элементов в каждой из матриц А1,А2,А3,…,Ак , хотя число неизвестных λ1, λ2, λ3,…,λк всегда равно количеству матриц к.

Понятно, что А1λ1+А2λ2+А3λ3+…+Акλк=0 всегда выполняется при λ1= λ2 =λ3=…=λк =0. Этот вариант равенства называется тривиальным. О нем говорят, что равенство выполняется в тривиальном варианте.

Поэтому матрицы А1,А2,А3,…,Ак являются линейно зависимыми, если существует какое-нибудь не тривиальное решение матричного равенства А1λ1+ А2λ2+ А3λ3+…+Акλк=0, т.е. равенство имеет место, если хотя бы одно из чисел λ1, λ2, λ3,…,λк отлично от нуля.

Матрицы А1,А2,А3,…,Ак называются линейно независимыми, если матричное равенство А1λ1+А2λ2+А3λ3+…+Акλк=0 выполняется только в тривиальном варианте.

Пример 1.10. Определить линейную независимость матриц:

A	2 3		1		A	3 1		2	A	−1 2			3
	=					=				=
1		−1 5	6		2		− 2 5		3		2	−5
								`1					−1

Линейная независимость имеет место только тогда, когда линейная комбинация А1λ1+ А2λ2+ А3λ3=0 только при λ1= λ2 =λ3=0. Поскольку равенство матриц означает поэлементное равенство элементов, должны выполняться равенства:

2λ1+3 λ2 -λ3 = 0 3λ1+ λ2 +2λ3 = 0 λ1+2 λ2 +3λ3 = 0 -λ1-2 λ2 +2λ3 = 0 5λ1+5 λ2 -5λ3 = 0 6λ1+ λ2 -λ3 = 0

Здесь уравнения в первой строке получены из равенства элементов в первой строке матричного равенства, а во второй – из второй строки. Поэтому должны выполняться шесть равенств с тремя неизвестными числами λ1, λ2, λ3. Надо доказать, что все равенства выполняются только при λ1= λ2 =λ3 =0. Из первого уравнения в первой строчке имеем: λ3 =2λ1+3λ2. Подставляя найденное выражение λ3 через λ1 и λ2 во второе уравнение, получаем:

3λ1+ λ2 +2λ3= 3λ1+ λ2 +2(2λ1+3λ2) = 7λ1+7λ2=0.

Следовательно, λ1= - λ2 и λ3 =2(-λ2)+3λ2=λ2. Поэтому в третьем уравнении первой строчки имеем:

-λ2 +2λ2 +3 λ2 = 0.

16