2.7. Векторы и действия над ними

2.7.1. Понятие вектора

Любой упорядоченный набор чисел	a1 , a2 ,....., an	называется n-мерным
→ → →
вектором. Вектора обозначаются a, b, c . Числа a1 , a2 ,....., an называются коор-
→
динатами или компонентами вектора a .
Пример 7.1. Точки А(3) и B(5) лежат на оси OX. Их соединяет вектор
→		→
AB . Его единственная координата равна 5 −3 = 2 , т.е.		AB = (2) .
Пример 7.2. Точки А(1;2) и В(3;-2) на плоскости XOY соединяет вектор
→	→	→
AB с координатами (3 −1;−2 − 2) = (2;−4) , т.е.	AB = (2;−4)	. Здесь AB – двумерный

вектор.

Пример 7.3. Точки А(1;-3;2) и B(-3;5;2) в пространстве соединяет трехмерный вектор

→

AB = (−3 −1;5 −(−3);2 − 2) = (−4;8;0) .

→

Координаты вектора AB , который соединяет точки A(a1 , a2 ,...an ) и B(b1 ,b2 ,...bn ) , получаются по формуле:

→

AB = (b1 − a1;b2 − a2 ;...;bn − an )

трехмерный вектор в координатном пространстве Oxyz часто записывается в виде:

→	→	→	→		(7.1.1)
a = a x	i + a y	j+ a z	k
Такое представление вектора называется разложением по осям коорди-
нат. Здесь ax , ay , az – проекции вектора				→	на оси координат,	→ → →	– единич-
				a		i , j, k

ные вектора, направление которых совпадает с положительным направлени-

ем соответствующей оси.

→

→

и

→

Вектора ax i , ay

j

az

k называются составляю-

→

щими вектора a = (ax , ay , az ) .

Длина (модуль) вектора

→

→

a = (a1 , a2 ,..., an )

обозначается a или

a

и опреде-

ляется по формуле

→

2

2 +... + an

2

a

=

a1

+ a2

(7.1.2)

При n = 2 это совпадает с теоремой Пифагора.

Суммой векторов

→

→

называется вектор

→

→ →

+b2 ,...,an +bn ),

a и b

c

= a+b =(a1

+b1,a2

→

→

→

,

координаты которого равны

т.е. суммой векторов a

иb

называется вектор с

суммам соответствующих координат векторов

→

и

→

a

b .

65

Пусть λ – произвольное число. Произведением вектора					→	на число λ
					a
→	→	λ , координаты которого получаются умножением
называется вектор λ a	= a
			→
на λ соответствующих координат вектора a :
→		→		(7.1.3)
c	= λa		= (λa1 , λa 2 ,..., λa n )
→		→	, начала которых совмещены, изображаются век-
Сумма векторов a и		b

тором с тем же началом и совпадающим с диагональю параллелограмма, по-

строенного на векторах

→

→

a и

b . Поэтому сумма любого числа векторов может

быть найдена по правилу многоугольника:

→

→

c

b

→

a

→

→

→

a

+ b

+ c

Рис. 2.2. Сложение векторов

Если λ =

1

, то

→

– единичный вектор, направленный так же, как век-

λ a

→

a

тор

→

→

направлен противоположно вектору

→

a . Если λ <

0 , то λ a

a .

2.7.2. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Скалярным произведением векторов

→

→

число, равное

a и

b называется

произведению длин этих векторов на косинус угла ϕ между ними:

→ →

→

→

(7.2.1)

a b =

a

×

b

cos ϕ

→

→

→ →

→ →

Скалярноепроизведениевекторов a и

b

обозначается a b

илипросто a b .

→

→

→

= (aX , aY , aZ ) и

→

= (bX ,bY ,bZ ) , то

Если вектора a и

b

заданы координатами a

b

→ →

(7.2.2)

a b

= a X bX

+ a Y bY + a Z bZ

Свойства скалярного произведения:

→ →

→ 2

1.

a a

=

a

2.

→ →

= 0 , если

→

→

= 0 , или

→

→

a b

a = 0 или

b

a

b

→ → → →

3.a b = b a

4.	→	→		→ → →	→
	(λa) b		= λ(a×b) = a		λb
5.	→ →	→	→ →	→ →
	a(b+ c)		= a b	+ b c

66

Пример 7.7. Найти скалярное произведение векторов

→

→

→

→

и

a

= 4 i +3 j

+ 7 k

→

→

→

→

b

= −5 i

+ 2 j

+ 2 k .

→ →

→

→

Имеем: a b = 4×(−5) +3×2 +7 ×2 = 0 . Следовательно векторы

a и b ор-

тогональны друг другу.

Пример 7.8. Найти значение λ , при котором вектора

→

→

→

→

и

a

= 3 i + 4 j+ λ k

→

→

→

→

a

= λ i −7 j+ 4 k перпендикулярны.

→ →

= 3×λ −4×7 +λ×4 = 7(λ −4) . Следовательно вектора пер-

Имеем: a b

пендикулярны при λ = 4 .

r

r

и

r

Пример 7.9. Найти скалярное произведение векторов 3a

+5b

a − 2b ,

→

→

→

→

если

a

= 4 ,

b

= 3

и a

b .

Используя свойства скалярного произведения, имеем:

→

→ →

→

→ 2

→ →

→

2

(3a+5b)(a

−

2 b)

= 3

a

+ a b(5 −6) −10

b

= 3×42

−10×32

= 48 −90 = −42 .

Задача 7.6. Найти вектор, перпендикулярный вектору 1) (2;3); 2) (5;3;1).

Задача 7.7. Найти скалярное произведение векторов

→

−

→

и

→

→

3 a

2 b

5 a−6 b ,

→

→

→

→

если

a

= 2 ,

b

= 3

и угол между векторами a

и

b равен π .

3

→

→

→

→

и

Задача

7.8.

Определить

угол

между

векторами

a = 5 i +

3 j+ 4 k

→

→

→

→

b

= −3 i

+ 4 j+5 k .

Задача 7.9. При каком значение λ

→

→

→

и

→

→

→

→

вектора a = λ i + 2 j

b

= 3 i −6 j+ 4 k

перпендикулярны?

Задача

7.10.

Найти

скалярное

произведение

векторов

→

→

→

и

2 a

+ b

+ 4 c

→

→

→

→

→

→

1

5 a+ 2 b+ 7 c , если

a

=

1,

b

= 4 ,

c

= 3 и углы cos ab = cos ac

= cosbc

=

.

2

→

→

на вектор

называется такой

Векторным произведением вектора a

b

вектор

→

c , который:

1)

имеет

→

равный площади параллелограмма, построенного на векто-

c

→

→

→

→

→

→

→

→

→

рах

a и b , т.е.

c

=

a

×

b

sin ϕ, где ϕ –

угол между векторами

a

и

b ;

c

a

и

→

→

;

c

b

2)

вектора

→ → →

приведенные к общему началу ориентированны по

a

, b

, c

→

→

и

→

отношению друг к другу как орты i ,

j

k .

Векторное

произведение

вектора

→

на

вектор

→

обозначается

→

→

a

b

a× b

или →a, →b .

67

Свойства векторного произведения:

→→ → → → →

1.m a× b = m(a× b) = a×(m b)

→→ → → → → →

2.a×(b+ c) = a× b+ a× c

3.	→ →	= 0 , если	→		или	→	= 0 , или	→	и	→	параллельны
	a× b		a	= 0		b		a		b

→ → → →

4.b× a = −a× b

5.

→

→

=

→

→

→

→

→

i × i

j× j

= k× k

= 0

6.

→

→

→

,

→

→

→

,

→ →

=

→

i × j

= k

j× k

= i

k

× i

j

Находить

векторное

произведение

вектора

→

→

→

→

и

a = aX i + aY

j+ aZ k

→

→

→

→

b

= bX

i +bY

j+bZ k удобнее всего по формуле:

→

→

→

→

→

i

j

k

(7.3.1)

a

× b

=

a X

aY

a Z

bX

bY

bZ

Пример 7.10. Вычислить площадь параллелограмма S, построенного на

→

=

→

→

→

и

→

→

→

→

векторах a

2 i +3 j+5 k

b

= 2 i

+ 4 j+ 2 k .

Имеем:

→

→

→

→ →

i

j

k

→

3 5

+

→

5 2

→

2 3

=

→

→

→

2 3 5

a× b =

= i

4

2

j

2

2

+ k

2

4

i (−14) +

j× 6 + k× 2

2

4

2

→

→

236 .

Следовательно

S =

=

142

+ 62

+ 22

=

a× b

Пример 7.11. Найти векторное произведение векторов

→

→

→

→

и

a =

6 i

+3 j

− 2 k

→

→

→

→

b

= 3 i

− 2 j+ 6 k .

Здесь

→

→

→

→

→

i

j

k

→

→

→

→

→

→

=

6

3

−

2

−

a× b

= i (18 − 4) − j(36 + 6)

+ k (−12

−9) =14 i

42 j− 21k

3

− 2

6

Пример

7.12.

Вычислить площадь треугольника ABC с вершинами

A(2;2;2), B(3;4;5) и C(5;4;3).

→

и

→

= (3;2;1) . Поэтому имеем:

Вектора AB = (1;2;3)

AC

→

→

→

→

→

i

j

k

→

→

→

→

→

→

1 2 3

−

6) −

AB× AC =

= i (2

j(1−9) + k (2 −6) = −4 i +8 j− 4 k

3

2

1

68

и, следовательно,

S ABC = 1	− 4 i	+8 j	− 4 k	= 2	− i	+ 2 j	− k = 2 1+ 4 +1 = 2 6 .
	→	→	→		→	→	→
2

Задача 7.11. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам

→	→	+	→	→	→	→	+	→	→
a	= 2 i		j	+ k	и b	= i		j	+ 2 k .

Задача 7.12. Найти площадь треугольника с вершинами в точках

A(-2;1;3), B(2;-3;4) и C(-2;5;2).

							→			→
Задача 7.13. Найти векторное произведение векторов a(−3;5;1)									и b(2;1;4) .
Смешанным произведением векторов	→		→		→	называется скалярное
	a ,		b		и c
→	→	на вектор				→		→ →		→
произведение векторного произведения a× b						c	, т.е. a b c .
		→ → →			и вычисляется по формуле:
Смешанное произведение обозначается a b c

→ → → =a b c

a X	aY	aZ
bX	bY	bZ
c X	cY	cZ

Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение меняет знак при перестановке местами любой пары векторов.

2.Модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

3.

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах

→

,

→

и

→

,

a

b

c

равен

1

→ → →

.

a b c

6

4.

Смешанное произведение векторов

→

→

→

a ,

b

и c равно нулю тогда и

только тогда, когда эти вектора компланарны, т.е. лежат в одной плоскости.

→

→

→

→

,

Пример 7.13. Найти смешанное произведение векторов a

= 3 i

+5 j+

2 k

→

→

→

→

→

→

→

→

b

= − i − 4 j

+ k

и c = 2 i −

j

+ 4 k .

→ → →

=

3

5

2

= 3(−16 +1) −5(−4 − 2) + 2(1+8) = −45 +30 +18 = 3.

Имеем a b c

−1

− 4

1

2

−1

4

Пример 7.14. Показать, что векторы	→	= (3;2;5) ,	→	= (2;6;−3)
	a		b

компланарны.

→

и c = (−1;4;−8)

	→ → →	=	3	2	5	= 3(−48 +12) − 2(−16 −3) +5(8 + 6) = −108 +38 + 70 = 0 .
Имеем a b c			2	6	−3
			−1	4	−8
					→	,	→	и	→	компланарны.
Следовательно вектора a							b		c

69