2.9. Плоскость и прямая в пространстве

2.9.1. Общее уравнение плоскости

Общим уравнением плоскости называется уравнение

Ax + By +Cz + D = 0

(9.1.1)

где A2 + B2 +C 2 > 0 . Вектор (A;B;C) – нормаль к плоскости n . Частные случаи общего уравнения:

a)D=0 – плоскость проходит через начало координат;

b)A=0 – плоскость параллельна оси OX;

c)A=0 и B=0 – плоскость параллельна плоскости XOY. Аналогично и для других коэффициентов B и C.

Расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости, определенной уравнением, Ax + By +Cz + D = 0 находится по формуле:

d = Ax0 + By0 +Cz0 + D	(9.1.2)
A2 + B2 + C 2

Получившаяся после подстановки координат точки M0 в уравнение плоскости величина Ax0 + By0 +Cz0 + D определяет положительное и отрица-

тельное полупространства, на которые плоскость	Ax + By +Cz + D = 0 делит
пространство.
Уравнение плоскости, которая проходит через точку M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) , пер-
пендикулярно вектору n(A;B;C):	(9.1.3)
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0
Это уравнение называют уравнением связки	плоскостей. Уравнение

плоскости, проходящей через три заданные точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3) имеет вид:

			x − x1	y − y1	z − z1		=0		(9.1.4)
			x2 − x1	y2 − y1	z2 − z1
			x3 − x1	y3 − y1	z3 − z1			uuuuur		uuuuur
	Оно выражает линейную зависимость векторов										с любым век-
								M1M	2	и M1M3
	uuuuur	, где M (x; y; z) – произвольная точка на плоскости.
	тором M1M
	Пример 9.1. Определить расстояние от точки								M 0 (3;5;−8)		до плоскости

6x −3y + 2z − 28 = 0 и найти полупространство, в котором находится эта точка. Подставляя координаты (3;5;−8) точки M0 в уравнение плоскости, получаем 6 × 3 – 3 × 5 + 2(-8) – 28 = -41. Следовательно, точка M0 принадлежит

отрицательному полупространству, в котором находится и начало координат. По формуле (9.1.2) находим расстояние от точки M0 до плоскости:

	d =	− 41	=	41	=	41
		+ (−3)2 + 22
	62			49		7

78

Пример 9.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2;3;5) и перпендикулярной вектору (4;-3;2).

По формуле (9.1.3) получаем: 4(x − 2) −3( y −3) + 2(z −5) = 4x −3y + 2z −9 = 0.

Пример 9.3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через основания перпендикуляров, опущенных из точки M (2;3;−5) на координат-

ные плоскости.

Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоско-

сти, являются точки

M1 (2;3;0), M2 (2;0;−5)

и M3 (0;3;−5) . Поэтому по формуле

(9.1.4) получаем уравнение плоскости:

x − 2

y − 3

z

= 0 ,

2 − 2

0 − 3

−5

0 − 2

3 − 3

−5

т.е.

(x −2)

−3

−5

−( y −3)

0

−5

+ z

0 −3

=15(x −2) +10( y −3) −6z =15x +10y −6z −60 = 0

0

−5

−2

−5

−2

0

Задача

9.1. Найти

расстояние от

точки M0 (−1;−3;2) до плоскости

2x −3y −4z −12 = 0 . Как расположена точка M0 относительно этой плоскости?

Задача	9.2.	Найти	длину перпендикуляра, опущенного из	точки
M0 (2;3;−5) на плоскость 4x −2y +5z −12 = 0 .
Задача	9.3.	Найти	уравнение плоскости, проходящей через	точки
M1 (2;0;−1) и M2 (1;−1;3) и перпендикулярной плоскости 3x +2y − z +5 = 0 .
Задача 9.4. Найти уравнение плоскости, если точка M (4;−3;12)				служит

основанием перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из начала координат.

2.9.2. Прямая в пространстве

Общее уравнение прямой в пространстве задается как линия пересече-

ния двух плоскостей

A x + B y +C z + D = 0				(9.2.1)
1	1	1	1
A1x + B2 y +C2 z + D2 = 0

Уравнение прямой, которая проходит через две точки M1 (x1; y1; z1 ) и

M2 (x2 ; y2 ; z2 ) :

x − x1			=	y − y1			=	z − z1			(9.2.2)
x	2	− x		y	2	− y		z	2	− z
		1				1				1

Здесь (x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1 ) – направляющий вектор прямой.

Параметрическим уравнением прямой называется

x = et + x1
	(9.2.3)
y = mt + y1
z = nt + z1

79

	Точка пересечения прямой	x − x0	=	y − y0	=	z − z0	с плоскостью
		l		m		n

Ax + By +Cz + D = 0 находится после подстановки параметрического уравнения

прямой в уравнение плоскости и отыскания значения параметра t, соответствующего искомой точке пересечения. Совокупность плоскостей

α(A1x + B1 y +C1z + D1 ) + β(A2 x + B2 y +C2 z + D2 ) = 0 (9.2.5) называется пучком плоско-

стей, которые проходят через прямую (9.2.1).

Пример 9.4. Найти каноническое уравнение прямой, если она задана общим уравнением

2x − y +3z −1 = 0 5x +4y − z −7 = 0

Направляющий вектор прямой найдем как векторное произведение векторов(2;−1;3) и (5;4;−1) нормальных заданным плоскостям. Имеем:

	i	j	k
(l,m,n) =	2	−1	3	= (1−12;2 +15;8 +5) = (−11;17;13)
	5	4	−1

Для того чтобы найти какую-нибудь точку прямой, возьмем x = 0 , т.е. найдем пересечение прямой с плоскостью YOZ. Имеем:

− y +3z −1 = 0			−y +3z −1 = 0
	−7 = 0		.
4y − z			4y − z −7 = 0
Решение этой системы: y1	= 2; z1	=1. y1 = 2; z1 =1. Поэтому прямая прохо-

дит через точку (0;2;1) и имеет каноническое уравнение:

−x11 = y17−2 = z13−1

Пример 9.5. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую x −2 2 = y3−1 = z −1 3

Поскольку (2;3;1) – направляющий вектор прямой, плоскость 2x +3y + z = 0 перпендикулярна прямой и проходит через начало координат. Для того, чтобы найти координаты точки пересечения этих прямой и плос-

кости,

воспользуемся

параметрическим

уравнением

прямой

x = 2 +2t, y =1+3t, z = 3 +t .

После подстановки параметрического уравнения в

уравнение

плоскости,

получаем:

2(2 +2t) +3(1+3t) +(3 +t) = 0 ,

откуда t = −

5

.

Следовательно, координаты точки пересечения есть:

7

x = 2 −

2×5

=

4

, y =1−

3×5

= −

8

,z = 3 −

5

=

16

7

7

7

7

7

7

Таким образом, основания перпендикуляра – точка M (4 ;− 8 ;

16) .

7

7

7

Задача 9.5. Составить

уравнение прямой, проходящей через точку

M (1;1;1) и перпендикулярной векторам nr1 (2;3;1)

и nur2 (3;1;2) .

80

A3 x + B3 y +C3 z + D3 = 0

	Задача			9.6. Найти точку пересечения прямых		x −1	=	y −2	=	z +4	и
		y − 5		1				−5		−2
x − 2	=		=	z −1	.
2		− 2		3

Задача 9.7. Найти параметрические уравнения прямой, проходящей че-

рез точки A(2;−5;1) и B(−1;1;2) .

Задача 9.8. Даны точки A(−1;2;3) и B(2;−3;1) . Найти уравнение прямой, uur

проходящей через точку C(3;−1;2) и параллельной вектору AB . Задача 9.9. Найти какое-нибудь общее уравнение прямой

x −3 5 = y 2−7 = z +4 2 .

2.9.3. Взаимное расположение прямых и плоскостей

Две плоскости A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 могут пересекаться, быть параллельными или совпадать в зависимости от отношений ко-

эффициентов

A1

,

B1

,

C1

,

D1

. Если

A1

=

B1

=

C1

=

D1

, то плоскости совпадают.

A

B

D

A

B

D

C

2

C

2

2

2

2

2

2

2

Если

A1

=

B1

=

C1

≠

D1

, то плоскости параллельны. Во всех остальных случа-

A

B

D

C

2

2

2

2

ях плоскости пересекаются. В алгебраических терминах в первом случае ранг (А) = ранг(A|B) = 1, во втором – ранг (А) = 1, ранг (A|B) = 2, а в последнем – ранг(А)=2.

Взаимное расположение плоскости и прямой

A1x + B1 y +C1z + D1 = 0A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0

определяется плоскостями. Поскольку две последние пересекаются, расположение зависит от рангов матриц:

	A1		B1		C1			и
A =		A	B	2	C	2
		2	B		C
		A		3		3
		3

		A		B		C		D
			1		1		1		1
A	B = A 2			B 2		C 2		D 2
		A 3		B 3		C 3		D 3

Если ранг(А)=3, то прямая пересекает плоскость и система имеет единственное решение – точку пересечения прямой и плоскости.

Если ранг(А)=2 и ранг(А|В)=3, то прямая параллельна плоскости и система несовместна – решения нет. Если ранг(А)=2 и ранг(А|В)=2 , то все три плоскости проходят через заданную прямую. Следовательно прямая лежит в плоскости.

Аналогично обстоит дело со взаимным расположением прямой и нескольких плоскостей.

Взаимное расположение двух прямых, заданных общими уравнениями

A1x + B1 y +C1z + D1 = 0A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0

иA3 x + B3 y +C3 z + D3 = 0A4 x + B4 y +C4 z + D4 = 0

81