Замечание. В приведенном примере вычисление всех определителей заканчивалось представлением в виде произведения сомножителей, один из которых (13) сократился при делении. Такая ситуация является весьма общей. Поэтому не надо торопиться перемножать сомножители, хотя чаще всего они не сокращаются.

Задача 4.4. Решить системы уравнений, используя правило Крамера:

x	1 + 4x 2 + x3 = 21	3x		1 + x2 − x3 = 2	2x1 + x2 + x3 = 7
			4x1	+3x 2 −3x3 =1		= 2
1) 4x1 + 2x2 + x3 = 27		2)			3) x1 + 4x2 −5x3
	3x 2 + 2x3 =19			−2x2 +3x3 = 7		=1
		2x1			4x1 +10x2 −x3

Решение приведенных задач показывает, что формулы Крамера представляют собой единый и удобный метод отыскания решений систем линейных уравнений.

Указание. Использование формул Крамера значительно упрощается, если надо найти только одно из неизвестных: в этом случае надо сосчитать только два определителя.

Рекомендация. Найденное решение следует всегда проверять подстановкой в исходную систему уравнений.

2.4.4. Системы уравнений с параметрами

Выше всюду рассматривались системы линейных алгебраических уравнений с фиксированными коэффициентами при неизвестных и правыми частями уравнений. В практических задачах очень часто эти коэффициенты и значения правых частей известны неточно. Поэтому приходится анализировать влияние таких параметров на решение систем.

Пример 4.5. Исследовать зависимость решения системы уравнений

3x +8y = a5x +9y = b

от параметров a и b .

Здесь от параметров зависят только правые части уравнений. Поскольку

∆ =		A		=	3	8	= 27 − 40 = −13 ≠ 0
					5	9

для отыскания решения можно воспользоваться формулами Крамера. Имеем:

∆1	=	a	8	= 9a −8b,∆2	=	3	a	= 3b −5a
		b	9			5	b

Поэтому

x = x

= ∆1

=

9a −8b

=

8b −9a

, y = x

=

∆2 =

5a −3b

1

13

2

13

∆

−13

∆

Подстановкой убеждаемся, что полученное решение верно:

3

8b −9a

+8

5a −3b

=

a(−27 + 40)

+ b(24 −24)

= a

13

13

13

5

8b −9a

+9

5a −3b

=

a(−45 + 45)

+ b(40

−27)

= b

13

13

13

В частности, если a =11,b =14 получаем: x =

8×14 −9×11

=1 и y =1.

13

47

y(a,b)

x(a,b)

Таким образом, каждой паре параметров a и b соответствует единственная пара чисел x и y , удовлетворяющая заданной системе уравнений. Это значит, что решением системы уравнений является упорядоченная пара и двух функций от двух переменных (параметров a и b ). Обе функции определены для любых значений этих параметров и линейно зависят от независимых переменных a и b . Кроме того, x – монотонно возрас-

тающая функция b и монотонно убывающая функция a ,			а	y	– наоборот,
возрастающая функция a и монотонно убывающая функция b .
Задача 4.5. Найти решение систем уравнений
8x + 5y = 2a +1	4x + 9 y = a + b	9x + 4 y	= 2a		+ b
1)	2)	3)		= a
3x + 2 y = a	3x + 8y = 3a − b	8x + 3y

и исследовать зависимость их решения от параметров a и b . Рекомендация. Постройте графики полученных решений x(a,b) и y(a,b)

как функций переменных параметров a и b . Объясните, почему во всех задачах решения линейно зависят от параметров a и b .

Пример 4.6. Исследовать зависимость решения системы уравнений

			(a +3)x + 2ay = 5
от параметров a и b .					x +5y = b
В этом примере коэффициенты при неизвестных зависят от параметра
a , а правые части – от параметра b .
Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных:
∆ =		a +3 2			= 5(a +3) − 2a = 3(a +5)
		1	5

Этот определитель не равен нулю только тогда, когда a ≠ −5. Поэтому пользоваться формулами Крамера можно только тогда, когда a ≠ −5. В этом случае:

∆1 =		5	2a		= 25 − 2ab , ∆2 =		a + 3	5		= ab + 3b − 5
		b	5				1	b

x = x	=	25 − 2ab	y = x	2	=	3b −5 + ab
1		3(a +5)				3(a +5)

Рассмотрим отдельно случай a = −5 . Тогда исходная система есть:

− 2x −10 y = 5x +5y = b

После прибавления удвоенного второго уравнения к первому, получаем:

0 = 5 + 2bx +5y = b

Здесь первое равенство выполняется только тогда, когда b=− 52. Следо-

вательно при любом b ≠ − 52 и a = −5 система не имеет решения, т.е. нельзя найти ни одной пары чисел х и у, которые удовлетворяют исходной системы.

48

Иначе обстоит дело, если одновременно a = −5, b = − 52 . При таких зна-

чениях параметров остается только одно второе уравнение. Оно имеет бесконечно много решений

− 5 − c x = c , y = 2

5

Конечно, здесь имеется произвол в выборе значения любой из неизвестных, а решение можно записать и в виде:

x = − 52 − 5 c , y = c

Таким образом, зависимость от параметра коэффициентов при неизвестных исходной системы может порождать отсутствие решения или наличие бесконечного множества решений. Обнаруженный факт представляет собой обобщение известного ранее для одного уравнения ax=b и для систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Замечание 1. Введение константы c в решение системы уравнений напоминает произвол в выборе константы интегрирования.

Замечание 2. Рассмотренный пример показывает, что как и для одного уравнения, для линейных алгебраических систем с большим числом уравнений и неизвестных возможны только три разных случая: единственное решение, отсутствие решения или бесконечно много решений.

Задача 4.6. Исследовать решения системы уравнений:

4 x + 5ay = 2a		4 x + 5ay = 2a			4 x + 5ay = 2a	.
1)		2)		3)
8 x + 10 y	= 3	8 x + 10 y	= 2		8 x + 10 y = b

Задача 4.7. Придумать собственную систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными и двумя параметрами и исследовать ее в зависимости от значений параметров.

Вопросы для самостоятельного контроля

1)Что такое минор элемента определителя?

2)Чем отличаются алгебраическое дополнение и минор элемента определителя?

3)Что называется присоединенной матрицей?

4)Как найти присоединенную матрицу для заданной матрицы?

5)Чему равен порядок присоединенной матрицы?

6)В каком случае обратная матрица не существует?

7)Какая матрица называется невырожденной?

8)При каких условиях можно использовать формулы Крамера?

9)Что такое решение системы линейных алгебраических уравнений?

10)Какие определители входят в формулы Крамера?

11)Когда определители зависят от параметров?

12)Может ли произведение присоединенной и исходной матрицы быть скалярной матрицей?

13)Как влияет на результат перестановка множителей при умножении присоединенной и исходной матрицы?

14)Что такое формулы Крамера?

15)При каких условиях решение системы линейных алгебраических уравнений можно найти с помощью правила (формул) Крамера?

49