2.6.3. Прямоугольные координаты в пространстве

Если в пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz, то точка M, имеющая координаты x(абсцисса), y(ордината), z(аппликата), обозначается M (x, y, z)

Расстояние между точками A(x1 ; y1 ; z1 ) и B(x2 ; y2 ; z2 ) обозначается d (A, B) и вычисляется по формуле

d (A, B) = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 (6.3.1)

В частности,

d =

x2 + y 2 + z 2

(6.3.2)

есть расстояние от точки M (x; y; z) до начала координат.

Если отрезок АВ с концами

A(x1 ; y1 ; z1 ) и

B(x2 ; y2 ; z2 ) разделен точкой

C(x; y; z) в отношении λ = ±

AC

, то

BC

x =

x1 + λx2

,

y =

y1 + λy2

, z

=

z1 + λz2

(6.3.3).

1 + λ

1 + λ

1 + λ

Пример 6.10. Даны точкиM1 (1;3;0) , M 2 (−3;3;4) .Найти точку M, которая де-

лит отрезок M1M 2 в отношении λ = 3 .

По формулам (6.3.3) получаем:

x = xM =

1+3×(−3)

= −2 , y = yM =

3 + 3 ×3

= 3, z = zM =

0 + 4 ×3

= 3

1+3

1 + 3

1 + 3

Следовательно M (−2;3;3) .

Пример 6.11. Дан треугольник с вершинами A(2;2;2) , B(6;2;−1) , C(8;10;2) . Найти координаты точки D пересечения биссектрисы угла A со стороной CB.

Воспользуемся тем, что биссектриса угла A делит сторону CB на части, пропорциональные прилежащим сторонам AB и AC треугольника.

Для этого найдем длины сторон AB и AC:

AB = (6 − 2)2 + (2 − 2)2 + (−1 − 2)2 = 42 + (−3)2 = 5

AC = (8 − 2)2 + (10 − 2)2 + (2 − 2)2 = 62 +82 = 36 + 64 =10

Следовательно CD = 10 = 2 = λ . Поэтому

DB 5

x D

=

xC +λx B

=

8 + 2×6

=

20

, yD

=

10

+ 2

×2

=

14

, zD

=

2 + 2 × (−1)

= 0

,

1

+λ

1

+ 2

3

1 + 2

3

1 + 2

т.е. D( 203 ;143 ;0) .

63

M1 (2;1;4)

Пример 6.12. На оси OY найти точку,				равноудаленную от точек
A(-4;2;5) и B(2;-3;7).
Пусть M – искомая точка. Так как она лежит на оси OY, то ее координа-
ты (0;y;0), и должно выполняться равенство		AM		=		MB		. Поэтому
AM = (0 −(−4))2 +(y −2)2 +52 , MB =				(0 −2)2 +(y +3)2 +52

После возведения в квадрат получаем:

16 + ( y − 2)2 + 25 = ( y + 3)2 + 4 + 49

т.е.

	( y − 2)2 + 41 = ( y + 3)2			+ 53,		− (4 + 6) y =17 .
	Отсюда
	y = −	17	,	M(0;−	17		;0)
		10			10

Задача 6.19. Даны точки A(2;2;2) и B(-2;4;6). Найти координаты точек C и D, которые делят отрезок AB на три равные части.

Задача 6.20. Треугольник ABC имеет вершины A(2;3;4), B(8;11;4), C(0;4;2). Показать, что угол А – тупой.

Задача 6.21. В каком отношении точка M , равноудаленная от двух точек A(3;1;-4) и B(3;5;4) разделит отрезок оси OY от начала координат до точки

C(0;6;0)?

Задача 6.22. На оси OY найти точку, равноудаленную от точек и M 2 (−3;5;2) .

Вопросы для самостоятельного контроля

1)Что такое А(5), В(-2),С(0,3)?

2)Чему равно расстояние между точками А(х1) и В(х2)?

3)Как найти координату точки, которая делит отрезок оси в заданном отношении?

4)Когда отношение, в котором точка делит отрезок – величина отрицательная?

5)Что такое координата точки на координатной оси?

6)Что такое координаты точки на плоскости?

7)Как найти расстояние между точками А(х1,y1,z1) и В(х2,y2,z2)?

8)Чему равно расстояние между точками А(х1,y1) и В(х2,y2)?

9)Как найти длину отрезка на плоскости? В пространстве?

10)Как найти площадь треугольника с помощью определителя?

11)Как находятся координаты точки, которая делит в заданном отношении отрезок на плоскости?

12)Как найти периметр треугольника?

64