x −12 = y −1 или + 3(x −12) + 2( y −1) = 0 , т.е.3x + 2y −38 = 0. Середина стороны
4	− 6

AB – точка М имеет координаты x = 3, y = 3 . Поэтому медиана треугольника, опущенная из вершины С, соединяет точки С(12;1) и М(3;3). Следователь-

	но, уравнение медианы есть	x −12	=	y −1		, т.е. + 2(x −12) + 9( y −1) = 0 или
		3 −12		3 −1

2x +9y −33 = 0 .

Задача 8.12. Какие из точек A(1,5;1), B(3;1), C(3;2), D(3;2,5), E(3;3), M (−1,−3)

лежат на прямой 5x −4y −5 = 0 ? В отрицательной или положительной полуплоскостях этой прямой?

Задача 8.13. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M (−2;−5) параллельно прямой 3x + 5y + 2 = 0 .

Задача 8.14. Дана вершина треугольника A(3;3) , B(−1;−7) и C(−5;−1) . Составить уравнение медиан треугольника.

Задача 8.15. Даны стороны треугольника: 3x −5y +18=0(AB),x − y −10 =0(BC), x + y −11 = 0( AC). Найти периметр треугольника.

2.8.5. Взаимное расположение прямых на плоскости

Две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. Если прямые A 1 x + B1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 пересекаются,

то они имеют одну общую точку. Это значит, что система двух уравнений, составленная из уравнений данных прямых,

A x + B y +C = 0			(8.5.1)
1	1	1
A2 x + B2 y +C2 = 0

имеет единственное решение. Его можно найти по формуле Крамера, что

возможно только тогда, когда	A1	B1	≠ 0 . Следовательно прямые пересека-
	A	B
	2	2

ются, когда ранг матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных в их уравнениях прямых, равен 2.

Если прямые параллельны, то система (8.5.1) несовместна. В этом слу-

чае

A1

B1

= 0 , т.е.

A

B

, и

C

≠

A

(ранг(А)=1, ранг(A|B)=2). Прямые

A

B

1

=

1

1

1

C

A

2

A

B

2

2

2

2

2

совпадают

только тогда,

когда

все

их

коэффициенты пропорциональны

A 1 = B1 = C1 , т.е. ранг(А)=ранг(A|B)=1.

A 2 B 2 C 2

Три и большее число прямых пересекаются в одной точке, то есть являются прямыми одного пучка, только тогда, когда ранг(А)=ранг(A/B)=2. Как правило несколько прямых попарно пересекаются в разных точках.

76

Пример 8.12. Найти точки пересечения прямой 3x −5y +15 = 0 с координатными осями.

Поскольку ось OY имеет уравнение x=0, пересечение данной прямой с осью OY происходит в точке с x=0 и, следовательно, −5y +15 = 0 , т.е. y=3. Аналогично пересечение с осью абсцисс (y=0) происходит в точке (-5;0).

Пример 8.13. Как может изменяться взаимное расположение прямых

3x −9y +8 = 0 и 2x −by + 7 = 0 при изменениях параметра b?

Отношение коэффициентов при x =

3

, а при y =

9

. Они различны, если

2

b

3

9

8

b ≠ 6 . Поэтому при всех b ≠ 6 прямые пересекаются. Если b ≠ 6 , то

=

≠

и

2

7

прямые параллельны.

6

Задача 8.16. Найти точку пересечения прямой 2x − 4y +5 = 0

и прямой,

параллельной оси абсцисс.

Задача

8.17.

Найти зависимость

взаимного

положения

прямых

2x −7 y +b = 0 и 3x + 4y = 0 в зависимости от параметра b.

Задача

8.18.

Убедитесь, что прямые 3x − 2y +5 = 0, 4x + 2y −7 = 0

и

5x +3y −10 = 0 образуют треугольник.

Задача 8.19. Убедитесь, что прямые 3x − 2y + 7 = 0 и 2x +3y −5 = 0 перпендикулярны.

Вопросы для самостоятельного контроля

1)Что называется общим уравнением прямой на плоскости?

2)Какой смысл имеют коэффициенты общего уравнения прямой?

3)Как находится нормальный вектор прямой по общему уравнению?

4)Что такое отрицательная и положительная полуплоскости?

5)Что такое каноническое уравнение прямой?

6)Что такое параметрическое уравнение прямой?

7)Что такое направляющий вектор прямой?

8)Как найти направляющий вектор прямой по общему уравнению?

9)Что называется пучком прямых?

10)Как записывается уравнение всех прямых, которые проходят через заданную точку?

11)Как записывается уравнение прямой, проходящей через две заданные точки?

12)При каких условиях на коэффициенты общих уравнений прямых эти прямые параллельны?

13)При каких условиях на коэффициенты общих уравнений прямых эти прямые перпендикулярны?

14)Как найти точки пересечения двух прямых по их уравнениям?

15)Как найти точки пересечения прямой с осями координат?

77